아인슈타인의 일반상대성이론은 블랙홀(black hole)의 존재를 예견하였단다. 블랙홀은 중력이 엄청나게 큰 별의 일종이란다. 태양 주위를 지나는 빛은, 중력으로 인해 1/2000도 휘어졌지만, 블랙홀 주위를 지나는 빛은 엄청나게 휘어져서 소용돌이를 치면 빨려 들어간단다. 사람의 눈은 빛이 들어와야 볼 수 있는데, 블랙홀 안으로 빨려 들어간 빛은 밖으로 나오지 않기 때문에 검게 보이겠지.
[그림] 휘어진 공간으로 블랙홀을 표현한 모습과 빛이 심하게 휘어져 소용돌이 치며 빨려 들어가는 모습. 깊이가 깊고 경사가 심한 구멍처럼 모든 것이 빨려 들어간다고 해서 검은 구멍(black hole)이란 이름이 붙었단다. (#######그림에 소용돌이 치면서 빛이 빨려 들어가는 모습을 추가#######)
그럼 블랙홀이 만들어지는 원리를 알아보자.
밖으로 나가, 하늘을 향해 수직으로 공을 던져보자. 공은 지구의 중력으로 인해 땅으로 떨어지겠지. 그럼 이번에는 더 빠르게 던져보자. 그럼 공은 더 높이 올라간 후 떨어지겠지. 이렇게 점차 공을 더 빠르게 던지면, 공은 점차 더 높이 올라간 후 떨어지겠겠지. 그리고 어느 속도에 도달하면, 공은 지구의 중력을 벗어나 우주로 나가게 된단다. 이와 같이 공이 지구의 중력을 벗어나 우주로 나가기 위한 속도를 탈출 속도(escape velocity)라고 부른단다. 참고적으로 지구 탈출 속도는 초속 11.2km(시속 약 4만 km)가 된단다.
만약 지구가 점점 커져서 지구의 질량이 증가한다면 지구의 탈출 속도는 어떻게 될까? 지구의 질량이 커지면, 중력이 증가하니까 탈출 속도도 커지겠지. 예를 들어 지구의 질량이 지금보다 10배가 더 커진다면, 탈출 속도도 따라서 증가하겠지. 이렇게 지구가 점점 커져, 반지름이 태양에서 화성까지의 거리인 2억 2800만km가 된다면, 탈출 속도는 빛의 속도인 초속 30만 km에 근접하게 된단다. 만약 지구가 이보다 크다면, 빛조차도 빠져 나갈 수 없게 되겠지. 이렇게 지구의 질량이 커진다면, 지구는 블랙홀이 된단다.
별의 지름이 커지면 블랙홀이 된다는 생각을 200여 년 전에 한 사람이 있단다. 1783년 영국 요크셔 소른힐의 목사이자 지질학자이면서 천문학자이었던 미첼(John Mitchell, 1724∼1793년)은 런던 왕립학회에 논문을 하나 제출하였단다. 미첼은 이 논문에서, 우주에는 우리가 눈으로 볼 수 없는 별이 있을 가능성이 있다고 하였단다.
당시 빛의 속도는 잘 알려져 있었고(1675년, 덴마크의 천문학자인 뢰머가 목성의 위성 이오를 관찰하면서 빛의 속도를 계산하였다는 이야기는 앞에서 했었지), 만약 어떤 별의 탈출 속도가 빛보다 빠르면 이 별은 눈에 보이지 않는다는 것이야. 미첼은 이러한 별을 검은 별(dark star)이라고 불렀단다.
당시 사람들은 빛이 입자라는 뉴턴의 주장을 믿었기 때문에, 이런 이야기가 가능하였단다. 하지만, 나중에 빛이 파동이라는 사실들이 밝혀지면서, 미첼의 주장은 설득력을 잃었단다. 파동은 질량이 없기 때문에 만유인력법칙을 적용할 수 없기 때문이지. (하지만, 20세기 들어와 빛은 입자의 성질과 파동의 성질을 동시에 갖는다는 사실이 아인슈타인에 의해 밝혀졌단다.)
미첼의 뒤를 이어 '프랑스의 뉴턴'이라 불리우는 라플라스(Laplace, 1749~1827년)도 같은 생각을 하였단다. 1796년에 출간된《우주 체계 해설》에서 이런 특이한 별에 대해 이야기하고 있다. 하지만 이 책의 3번째 판이 나왔을 때, 해당 내용을 빼버렸단다. 아마 본인도 이런 이상한 별의 존재가 의심스러워 빼버리지 않았을까?
지구가 블랙홀이 되기 위해 질량이 커지는 것보다 쉬운 방법이 있단다. 뉴턴이 만든 만유인력법칙을 보면, 중력의 크기는 질량에 비례하고, 거리의 제곱에 반비례하지. 이 법칙에 따라 중력이 커지려면, 질량이 커지거나 거리가 줄어들면 된단다.
[그림] 지구의 질량(M)은 변하지 않는 상태에서, 반지름(r)만 줄어들어도 지구표면의 중력(F)은 커진단다.
예를 들어, 지구의 질량이 변하지 않는 상태에서, 지구의 반지름 r이 점차 줄어들면 지구 표면에 서 있는 사람은 더 큰 중력을 느끼게 되겠지. 만약 반지름 r이 0에 가까워진다면, 위의 식에서 중력은 무한대에 가까워지겠지.
만약 지구의 질량이 변하지 않는 상태에서, 지구의 반지름(6.371km)이 9mm로 줄어들면 지구의 탈출 속도는 초속 30만 km가 넘는단다. 다시 말해, 지구가 압축되어 사탕 정도의 크기가 되면, 지구는 블랙홀이 된다는 이야기가 되지. 물론 이때 지구의 밀도(=질량/부피)는 엄청나게 커지게 되겠지.
태양의 경우, 70만km인 태양의 반지름이 3km가 될 때까지 압축하면 블랙홀이 된단다. 이와 같이 어떤 별이 블랙홀이 되기 위한 반지름을 슈바르츠실트의 반지름이라고 한단다.
슈바르츠실트(Schwarzschild, 1873~1916년)는 독일의 천문학자란다. 1915년 11월 25일 아인슈타인이 일반상대성이론을 발표할 때에는 1차 세계대전 중이었고, 슈바르츠실트는 일반상대성이론의 중력장 방정식을 보고는, 곧바로 러시아 전선으로 가서 전투에 참가하였단다. 전쟁터에서 슈바르츠실트는 중력장 방정식으로부터 구형 물체 주변에서 시공간(spacetime)이 얼마나 휘어지는지를 정확하게 계산해 내었단다.
1915년 12월 22일 그는 자신이 계산한 해(解)를 아인슈타인에게 보냈는데, 아인슈타인은 이 편지를 보고 매우 놀랐단다. 사실 아인슈타인도 자신이 만든 방정식의 완전한 해는 구하지 못하였고, 근사 해에 만족했단다.
 
[그림] 구형 물체 주변의 휘어진 공간. 아인슈타인은 직교좌표계(왼쪽 그림) 상에서, 슈바르츠실트는 방사형 모양의 극좌표계(오른쪽 그림)에서 해를 구하였단다. 오른쪽 그림을 보면, 하나의 단면이 360도로 회전한 모양(축 대칭)이기 때문에, 아인슈타인보다 쉽고 간단하게 완전한 해를 구할 수 있었단다.
이듬 해인 1916년, 아인슈타인은 슈바르츠실트에게 이렇게 답장을 보냈단다.
"나는, 누구도 이렇게 쉽게 완전한 해를 구할 수 있을 거라고 생각하지 못했습니다. 아주 마음에 듭니다. 다음 주 목요일 아카데미에서 이 내용을 간단하게 설명을 하려고 합니다."
아인슈타인으로부터 답장을 받은 그해 5월 슈바르츠실트는 전쟁터에서 천포창(pemphigus)이라고 불리는 희귀한 피부병에 걸려 죽었단다.
구형 물체 주변에서 공간의 휘어진 양(ds)을 나타내는 슈바르츠실트의 해를 네가 알 필요는 없지만, 아인슈타인을 놀라게 한 이 식에 블랙홀의 비밀이 숨어있으니까, 한번 구경이나 하렴.
이 식에 나오는 rs가 바로 문제의 슈바르츠실트의 반지름인데, 다음과 같단다.
rs = 2Gm/c² (G는 중력상수, m은 구형 물체(별)의 질량, c는 빛의 속력)
예를 들어, 질량이 2X1030kg인 태양의 슈바르츠실트의 반지름을 구해보면, 다음과 같단다.
rs = 2 X (6.673 X 10-11Nm² /kg²) X (2 X 1030kg)/(3 X 108m)² = 3 X 103m = 3km
위의 계산이 좀 복잡하다만, 근사식을 사용하면 슈바르츠실트의 반지름을 아주 간단하게 계산할 수 있단다. 만약 어떤 별의 질량이 태양 질량의 n배라면, 슈바르츠실트의 반지름은 3n km가 된단다. 예를 들어 태양보다 5배가 무거운 별의 슈바르츠실트의 반지름은 3X5 = 15km가 된단다.
슈바르츠실트의 해는 아인슈타인을 기쁘게 했음에도 불구하고, 동시에 아인슈타인을 괴롭혔단다. 바로 해에 나오는 특이점 때문이란다.
'특별히(特) 다른(異) 점(點)'이란 뜻을 가진 특이점(特異點, singularity)은, 수학에서 불연속점이나 변곡점처럼 다른 것에 비하여 특이한 형태를 나타내는 점을 모두 이르는 말이란다. 예를 들어 y=1/x라는 곡선이 있는 경우, x=0인 경우 y 값은 불연속이 되는데, 이와 같은 점을 특이점이라고 한단다.
[그림] y = 1/x인 곡선의 경우, x = 0에서 특이점이 존재한단다.
이런 특이점은 수학적으로 존재할 수 있으나, 현실 세계에서는 불가능한 경우가 많단다. 예를 들어, 무한대가 수학에서는 존재하지만 현실 세계에서는 존재하지 않는단다.
슈바르츠실트의 해에는 이와 같은 특이점이 두 곳이 있단다. 위에 나오는 슈바르츠실트의 해를 보면 r = 0일 때와 r = rs(슈바르츠실트의 반지름)일 때 공간이 휘는 양(ds)이 무한대가 된단다.(이 값을 대입해 보면, 위의 식 첫번 째 항과 마지막 항에서 무한대가 된단다.)
[그림] 슈바르츠실트의 해에 나타나는 두 곳의 특이점. 슈바르츠실트의 해에 따르면, 이 두 곳에서 공간의 휘는 양이 무한대가 된단다. 따라서 이 곳에서 중력은 무한대가 된단다.
첫 번째 r = 0인 지점은 질량의 중심이란다. 사실 이 특이점은 뉴턴의 만유인력 공식(F = Gm1m2/r² )에도 나타난단다. 만유인력 공식에서 두 질량 간의 거리 r이 0이면 중력 F는 무한대가 되어 특이점이 나타나게 되지. 하지만 r = 0이 되려면, 질량을 가진 두 개의 물체가 한 지점에서 겹쳐서 존재해야 하는데, 현실 세계에서는 이런 일이 일어나지 않겠지.
두 번째 r = rs인 지점은 질량의 중심으로부터 rs의 거리에 있는 점들, 즉 원 둘레가 된단다. 다시 말해, 원 둘레에서는 공간의 휘는 양이 무한대가 되는데, 공간이 휘는 양은 중력에 비례하니까, 중력의 크기가 무한대가 된다는 뜻이 되지. 만약, 중력의 크기가 무한대가 된다면, 이 지점에서는 빛을 포함한 모든 것을 빨아들이게 되겠지. 또, 중력이 무한대가 된다면 시간은 정지하게 된단다.(일반상대성이론에서 중력이 커질수록 시간이 느리게 간다고 한 것을 기억하니?)
당시에는 블랙홀이란 개념을 누구도 상상하지 못했기 때문에, 사람들은 이런 원의 존재에 대해 매우 당황해 했단다. 과학자들은 질량의 중심에서 이 지점까지의 거리를 슈바르츠실트의 반지름이라고 불렀고, 그 안의 공간(블랙홀)에서 어떤 일이 일어나는지 아주 궁금해 했었단다. 아인슈타인도 이런 사실을 알았지만, 침묵을 지켰단다.
1922년, 프랑스의 수학자 아다마르(Hadamard, 1865~1963년)는 파리에서 열린 한 회의에서 아인슈타인을 궁지로 몰아넣으며 이렇게 물었단다.
"슈바르츠실트의 반지름에서 중력이 무한대가 된다면, 그 안쪽은 어떻게 됩니까?"
아인슈타인은 대답하기를 주저하다가, 이렇게 답변하였단다.
"그게 사실이라면 저의 이론에는 대재앙이 닥치는 거지요. 하지만 (블랙홀 안쪽에서는) 그 공식이 더 이상 적용되지 않기 때문에 물리적으로 어떤 일이 일어날지를 묻는 것은 의미가 없습니다."
즉, 일반상대성이론으로 블랙홀의 존재를 예견했음에도 불구하고, '블랙홀 안쪽에서는 일반상대성이론을 적용할 수 없다'는 것을 아인슈타인 스스로 인정한 것이지. 다시 말해, 블랙홀은 일반상대성이론의 사각지대인 셈이지.
별빛이 휘는 것을 관측하여 아인슈타인을 유명하게 만들어 주었던 에딩턴(Eddington, 1882-1944년) 역시 이 이상한 지역을 알았고, 그 곳을 마법의 원(magic circle)라고 불렀단다.
이러한 마법의 원 내부와 외부의 경계를 사건의 지평선(면)(event horizon)이라고 부른단다. 예를 들어 사막의 한가운데에 서서 주위를 둘러 보면, 지평선 위에 있는 물체는 볼 수 있지만, 지평선 너머 있는 물체는 볼 수 없겠지. 마찬가지로, 이 마법의 원 외부에서 일어나는 사건은 볼 수 있지만, 이 마법의 원 내부(블랙홀)에서 있어난 사건은 빛이 우리 눈에 도달하지 않아 우리가 볼 수 없기 때문에 '사건의 지평선'이란 이름이 붙었단다.
[그림] 무거운 별과 블랙홀. 슈바르츠실트의 반지름 내부가 블랙홀이란다.
또, 사건의 지평선을 너머 블랙홀에 들어가면 다시는 나올 수 없기 때문에, 사건의 지평선을 돌아올 수 없는 지점(the point of no return)이라고도 부른단다.
슈바르츠실트가 아인슈타인의 일반상대성이론으로 부터, 이론적으로 블랙홀이 존재할 수 있다는 것을 밝혀 낸 이후, 많은 과학자들은 블랙홀의 존재를 입증하기 위한 연구를 하였단다.
앞에서도 이야기했듯이 블랙홀이 되려면 별의 크기보다 밀도가 아주 커야 하는데, 우주에서 밀도가 가장 큰 별이 중성자별이란다. 중성자별은 반지름이 약 5㎞ 정도 되는 작은 별이지만 무게는 태양(반지름이 70만㎞)과 비슷한 별이란다. 그럼, 중성자별이 어떻게 생겨나는지 알아보자.
태양과 같이 젊은 별은, 내부에서 핵융합이 일어나서 바깥으로 에너지를 내 뿜으면서 팽창력이 생기고, 동시에 중력으로 별이 수축하려는 힘이 생기는데. 이 두 힘이 균형을 이루면서 별의 형태를 유지한단다.
별이 핵융합을 할 원자를 모두 소진하고 나면 팽창 에너지가 고갈되고 오로지 중력만 남게 된단다. 이때부터 별은 중력에 의해 급속하게 쪼그라들면서 크기가 줄어드는데, 이런 현상을 중력 붕괴라고 한단다. 중력으로 별이 쪼그라들 때 별의 중심부에는 압력이 커지는데 이러한 압력으로 인해 원자가 붕괴되어 원자핵과 전자 사이의 빈공간이 모두 사라진단다.
[그림] 원자핵 주변을 전자가 도는 원자 모델과 원자를 확대했을 때의 상대적인 크기
위의 그림은, 원자핵 주변을 전자가 도는 원자 모델이란다. 학교 수업 시간에 배운 이 모델은 실제 모양에 비해 과장되게 그려졌단다. 원자의 크기가 축구장 만하다면, 중앙에 있는 원자핵은 탁구공 크기이고, 주변에서 돌고 있는 전자는 이 글의 마침표 만하단다. 그리고 나머지는 모두 비어있단다.
중력 붕괴가 일어나면, 원자 내부의 빈 공간이 사라지면서 압축이 된단다. 따라서 축구장만한 원자가 탁구공만해진단다. 이때 원자핵 안에 있는 양성자와 중성자 중에, 양성자는 주변에서 돌고 있는 전자와 결합하여 중성자가 된단다.
[그림] 전자가 양성자와 결합하면, 중성자와 전자 중성미자가 생긴단다.
중력붕괴가 끝나면 별의 부피는 매우 작아지고 밀도는 매우 큰 중성자별이 탄생되는데, 각설탕 만한 1cm³의 크기의 질량이 10억톤이나 된단다. 하지만, 중성자별이라고 모두 블랙홀이 될 수는 없단다.
예를 들어 태양이 압축되어 중성자별이 되더라도 반지름이 5km나 된단다. 태양의 경우 슈바르츠실트의 반지름이 3km이란다. 즉 태양의 질량이 변하지 않는 상태에서 반지름이 3km보다 작아야 블랙홀이 될 수 있단다. 따라서 태양과 질량이 비슷한 중성자 별은 블랙홀이 될 수 없단다. 하지만, 질량이 더 늘어나 태양의 3.2배 이상이 되면 블랙홀이 될 수 있단다. 다시 말해, 중성자별 중에서도 무거운 중성자별만 블랙홀이 될 수 있단다.
블랙홀의 실재 존재나 특성들은 1955년 아인슈타인이 죽은 이후에 대부분 밝혀졌지만, 아인슈타인은 블랙홀의 존재에 대해 거의 인정하지 않았단다. 하지만 블랙홀에 대한 존재와 특성들이 대부분 자신이 만든 일반상대성이론에 의해 밝혀졌다는 것이 아이러니하지 않니?
PS) 사실 블랙홀이라는 이름은 우연히 만들어졌단다. 중성자별을 연구하던 미국의 물리학자 휠러(Wheeler, 1911~2008년)가 '중력적으로 붕괴되어 압축된 물체(gravitationally collapsed compact object)'라는 길고 어려운 이름을 대신할 이름을 찾았는데, 1969년에 한 학회에서 청중이 제안한 이름이 블랙홀이었단다.
그리고, 현재까지 천문학자들이 발견한 블랙홀의 목록을 보려면 http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_black_holes 로 가보렴
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