박홍균의 원리한자 / 포켓속의 미국 / 상대성이론

상대성이론

3-10. 쌍둥이 역설

아인슈타인의 상대성이론이 나왔을 때, 많은 사람들이 혼란을 겪었단다. 지금 너의 머리 속도 마찬가지라고 생각한다.

당시 많은 과학자들은 아인슈타인의 이야기를 반박하였단다. 흡사 코페르니쿠스나 갈릴레이가 지동설을 주장했을 때, 당시 학자들이 말도 되지 않는 이야기라고 반박한 것과 비슷하단다. 차이가 있었다면, 아인슈타인은 목숨을 걸지 않아도 되었다는 것뿐이었지.

아인슈타인의 이야기를 반박하기 위해 당시 과학자들이 만든 사고실험 중 쌍둥이 역설(twin paradox)이라는 것이 있단다. 이 이야기는 상대성이론을 다루는 모든 책에 반드시 나오는 이야기이기 때문에 그냥 지나칠 수가 없구나.

20살 된 쌍둥이 형제가 있다. 형은 지구에 남고, 동생이 지구에 비해 광속의 절반의 속도(0.5광년/년)를 내는 우주선을 타고 10광년 떨어진 행성으로 여행을 다녀온다. 이 경우, 가는데 20년, 오는데 20년, 총 40년이 걸리겠지.

[그림] 지구에서 10광년 떨어진 행성에 광속의 절반의 속도(0.5광년/년)로 갔다 오면 40년이 걸리겠지.

동생이 여행을 마치고 지구에 돌아왔을 때, '빠른 속도로 움직이는 물체에서는 시간이 느리게 간다'는 특수상대성이론을 적용하면, 우주선의 시간이 느리게 가겠지. 이 경우, 특수상대성이론의 공식으로 시간을 계산해보면, 지구의 형은 60세가 되는 데 비해 동생은 54.6세 밖에 되지 않는단다.

[그림] 지구를 기준으로 생각하면 우주선이 움직이므로, 우주선의 시간이 느리게 간다.

이것은 지구를 기준으로 생각한 결과이지. 모든 운동은 상대적이므로 우주선을 기준으로 하면 반대의 결과가 나온단다.

즉 우주선을 기준으로 생각하면, 지구가 움직이고 있다고 볼 수 있다는 것이지. '빠른 속도로 움직이는 물체에서는 시간이 느리게 간다'는 특수상대성이론을 적용하면, 지구의 시간이 느리게 가겠지. 이 경우, 특수상대성이론의 공식으로 시간을 계산해보면, 우주선의 동생은 60세가 되는 데 비해 형은 54.6세 밖에 되지 않는단다.

[그림] 우주선을 기준으로 생각하면 지구가 움직이므로, 지구의 시간이 느리게 간다.

이와 같이 누가 기준이냐에 따라 서로 모순되는 결과가 나오는 것을 쌍둥이 역설이라고 한단다.

[그림] 쌍둥이 역설 - 쌍둥이 형제 중 한 명이 우주선을 타고 10광년이 떨어진 행성으로 여행을 다녀오면 형의 나이가 많을까? 동생의 나이가 많을까?

이 이야기로 인해서, 얼핏 보면 상대성이론에 모순이 있는 것처럼 보이지만, 사실은 그렇지 않단다. 특수상대성이론은 등속도로 움직이는 관성계만을 다룬단다. 무슨 이야기냐 하면, '움직이는 물체에서는 시간은 느리게 간다'고 할 때, '움직인다'는 이야기는 등속 운동을 말한단다.

그런데 위의 이야기에 등장하는 우주선은 등속 운동만 하는 것이 아니란다. 우주선은 지구에서 출발할 때와 도착할 때, 행성에서 출발할 때와 도착할 때에는 가속 운동을 해야 하겠지.(속도를 줄이는 감속 운동도 가속 운동의 일종이란다.) 따라서 이 문제는 등속 운동에서만 적용되는 특수상대성이론으로만 시간을 계산할 수 없단다.

[그림] 우주선이 등속운동만으로 행성을 갔다 올 수 없단다. 출발과 도착 시에는 가속(혹은 감속) 운동을 하게 되지.

가속운동을 하는 물체에는 일반상대성이론이 적용되어야 하는데, 일반상대성이론에 따르면 가속 운동을 하는 물체에서는 시간이 느리게 간단다. 느리게 가는 이유는 뒤에 나오는 일반상대성이론에서 할 예정이야. 하지만, 가속 운동을 하면 시간이 느리게 간다는 사실을 안다고 가정하고 지구와 우주선의 시간을 계산해 보면 다음과 같단다. (계산의 편의성을 위해 가속과 감속을 하는 시간을 모두 합쳐서 몇 초 정도만 걸린다고 가정하여 무시하기로 하자. 참고적으로, 지구로 낙하하는 물체의 가속도는 9.8m/s²이란다. 즉, 1초에 9.8m의 속도가 증가한단다. 만약 우주선이 9.8m/s²로 계속 가속을 하면, 광속의 절반의 속도에 도달하는 데 8개월이 걸리고, 반대로 정지하는 데에도 8개월이 걸린단다. 따라서 몇 초 만에 광속의 절반의 속도에 도달하려면 엄청난 가속도가 필요하고, 가속도에 비례하여 시간은 아주 느리게 간단다.)

관측자	관측자가 본 시계	가는데 걸린 시간	오는데 걸린 시간	가속과 감속 시간	총 시간
지구의 형	지구의 시계(1)	20 년	20 년	무시	40 년
지구의 형	우주선의 시계(2)	17.3 년	17.3 년	무시	34.6 년
우주선의 동생	우주선의 시계(3)	17.3 년	17.3 년	무시	34.6 년
우주선의 동생	지구의 시계(4)	15 년	15 년	10 년	40 년

[그림] 지구의 형과 우주선의 동생이 각각 자기 시계와 상대방의 시계를 봤을 때 걸리는 시간

(1) 지구의 형이 자신의 시계(지구의 시계)로 시간을 재어 보면, 우주선이 10광년 떨어진 행성에 가는데 20년, 오는데 20년이 걸려 총 40년이 걸린단다. 이때, 우주선이 가속(또는 감속)하는데 걸리는 시간은 몇 초 정도 밖에 안되니까 무시하자.

(2) 이제, 지구의 형이 우주선의 시계를 보자. 우주선은 빠른 속도로 가기 때문에, 우주선의 시계는 지구보다 천천히 가겠지. 특수상대성이론의 공식으로 시간을 계산해보면, 가는데 17.3년, 오는데 17.3년이 걸려 총 34.6년이 걸린단다. 이때, 우주선이 가속(또는 감속)하는데 걸리는 시간은, 일반상대성이론에 의하면 우주선의 시계가 느리게 가므로, 무시해도 되겠지.

(3) 이제, 입장을 바꾸어 우주선의 동생이 자신의 시계를 보자. 우주선은 아주 빠른 속도로 달리므로, 지구와 행성 간의 거리는 수축되겠지.(혹시 왜 수축되는지 이해되지 않으면, 앞 장에서 이야기한 "우주선을 타고 250만 광년이 떨어진 안드로메다 은하에 인간이 과연 갈 수 있을까?"를 다시 한번 읽어 보기 바란다.) 수축되는 거리를 감안하여 보면, 가는데 17.3년, 오는데 17.3년이 걸려 총 34.6년이 걸린단다. 이때, 우주선이 가속(또는 감속)하는데 걸리는 시간은 몇 초 정도 밖에 안되니까 무시하자.

(4) 마지막으로, 우주선의 동생이 지구의 시계를 보자. 우주선을 기준으로 보면 지구는 아주 빠른 속도로 움직이기 때문에 지구의 시계는 우주선의 시계보다 느리게 가겠지. 특수상대성이론의 공식으로 시간을 계산해보면, 우주선에서의 시간 17.3년은 지구에서 15년 쯤 된단다. 따라서 가는데 15년, 오는데 15년, 총 30년이 걸린다.

그런데 문제는 가속하는데 걸리는 시간이란다. 우주선이 가속할 때, 지구에서 우주선의 시계를 볼 때에는 우주선의 시계가 느리게 가지만, 우주선에서 지구의 시계를 보면 지구의 시계가 빠르게 간단다. 즉, 우주선에서는 가속하는데 몇 초 밖에 걸리지 않지만, 지구의 시계로는 10년이 걸린단다. 따라서 우주선의 동생이 지구의 시간을 보면 총 40년(= 가는데 15년 + 오는데 15년 + 가속하는데 10년)이 지난 것을 보게 된단다.

결국, 지구에서 보나 우주선에서 보나, 지구의 형은 40년의 나이를 먹을 동안, 우주선의 동생은 34.6년의 나이를 먹어 우주선의 동생이 젊어지는 것이 옳은 결론이란다.

[그림] 쌍둥이 역설 - 둘 중에 가속 운동을 하는 우주선을 탄 동생이 젊다는 결론이 난단다.

아마 너는 이 문제에 대해 이렇게 이야기할 수도 있겠지.

"모든 운동은 상대적이므로 우주선을 기준으로 보면, 지구가 가속 운동을 하고 있는 것으로 볼 수 있잖아요?"

네 질문에 대한 답은 '아니다'란다. 등속 운동을 하는 사람은 자신이 현재 등속 운동을 하고 있는지 정지하고 있는 지를 절대로 판단할 수 없단다. 예를 들어 네가 완전히 밀폐된 방안에 있다면, 네가 등속 운동을 하고 있는지 정지하고 있는지를 알 수 있는 방법이 절대로 없단다.

하지만 가속 운동을 하는 사람은 밀폐된 방안에 있다고 하더라도 자신이 가속 운동을 하고 있는지를 알 수 있단다. 왜냐하면 가속 운동을 하면 몸이 앞으로 쏠리거나 뒤로 쏠리는 현상을 경험할 수 있지. 따라서 누가 가속 운동을 하고 있는지는 쉽게 알 수 있단다. 위의 경우 지구의 사람들은 가속 운동을 경험할 수 없지만, 우주선을 탄 사람은 출발하거나 도착할 때 가속 운동을 경험할 수 있단다.

PS) 위의 쌍둥이 역설에서, 가속 운동은 없고 등속 운동만 있는 경우라면 어떻게 될까? 위의 이야기를 다음과 같이 조금 변형해보자.

20살 된 쌍둥이 형제가 있다. 형은 동생이 둘 다 각자의 우주선을 타고 서로에 대해 반대 방향으로 막 지나가고 있다. 이때 상대 속도는 광속의 절반이라고 하자. 이후 동생이 탄 우주선은 계속 등속 운동을 하면서 40년을 비행하였단다. 그러면 40년 후에 서로를 보면 어떨까?

[그림] 형과 동생이 탄 우주선이 등속 운동을 하면 서로 반대 방향으로 가고 있다.

이 경우는 우주선이 등속 운동을 하기 때문에 특수 상대성이론만 적용되겠지. 따라서 40년 후 형이 우주선을 타고 가는 동생을 보면 자신보다 젊고, 반대로 동생이 지구에 있는 형을 보더라도 자신보다 젊게 보이겠지. 만약 두 형제가 모두 60살에 환갑잔치를 한다고 가정한다면, 각각은 자신이 먼저 환갑잔치를 하고 한참 후 상대방이 환갑잔치를 하는 것을 볼 수 있겠지.

"이것이 모순이 아니냐?"는 이야기를 할 수 있는데, 모순은 아니란다. 왜냐하면, 앞의 '동시성의 파괴'에서 사람마다 사건이 일어나는 순서가 다르다고 이야기했는데, 이 이야기도 마찬가지란다. 이제 절대적인 시간은 잊어버려라. 대신 사람마다 서로 다른 시간이 존재한단다. 이 이야기에 대해 더 깊이 알고 싶다면, 부록에 있는 '민코프스키의 세계선'을 참조해라.

이성수
(sslee000)

쌍동이 역설 두번째에서요. 공간이 구라고 가정하구요. 일정 시간 지나면 같은 자리로 돌아 온다고 가정 하자구요.
(2013-04-30 오후 1:36:14)

이성수
(sslee000)

형은 지구에 있고 동생이 지금 막 광속도의 절반인 등속도로 지구를 스쳐 지나갔다고 가정하죠. 그러면 특수상대성 원리가 바로 적용되죠.
(2013-04-30 오후 1:36:41)

이성수
(sslee000)

그러면 지구에 있는 형을 기준으로 보면 우주선에서의 동생의 시간이 느리게 가겠고 지구의 시간은 상대적으로 빨리 가겠죠.
(2013-04-30 오후 1:37:12)

이성수
(sslee000)

반면에 우주선 안의 동생의 입장에서 보면 반대로 지구에 있는 형의 시간이 느리게 가고 자신의 시간은 상대적으로 빠르게 가겠죠.
(2013-04-30 오후 1:37:24)

이성수
(sslee000)

우주선이 한바퀴 돌아 지구에 다시 올때는 형과 동생이 만나는데 이때는 어떻게 되나요?
(2013-04-30 오후 1:37:40)

박홍균
(hkpark)

답변: 공간이 구라는 이야기는 일반상대성이론에 의하면 공간이 휘어진 것입니다. 공간이 휘어졌다는 것은 중력을 받기 떄문입니다. 등가이론을 적용하면 중력을 받는 공간과 가속되는 공간은 같습니다. 즉 공간이 구라는 이야기는 가속을 받는 것과 동일합니다.
(2013-05-04 오후 10:50:08)

회원
(study1021)

훌륭한 지식 잘 보고 있습니다. 글을 읽으면서 혼란스러워서 제가 잘 이해하고 있는 건지 궁금하여 질문드립니다. 우주선에 탄 동생이 17.3년이 되는 시점에서 지구의 시계를 보면, 15년이 되는 시점을 가리키고 있다는 의미지요? 그런데 막상 지구의 형이 지구의 시계로 15년이 되는 시점에서는 여전히 우주선이 행성에 가고 있는 도중이라는 말인가요? 그리고 우주선이 지구를 떠날 때 생기는 가속 시간은 지구(형)에서 봐도 순식간에 벌어지는 것이지요? 우주선에 탄 동생도 우주선이 순식간에 가속하여 지구를 떠나는 것 처럼 보인다는 의미지요? 그렇다면 우주선에 탄 동생이 지구의 시계를 처음부터 관측했다면, 초기 굉장히 짧은 시간 동안 지구의 시계는 엄청나게 빠른 속도로 2.5년이 흐르다가(가속 운동이 왕복으로 인해 총 4번 일어나니까 = 10년/4번), 우주선이 등속도 운동 구간에 접어들면 지구의 시계는 그보다는 훨씬 느리게 움직이지만, 그래도 우주선에 탄 자신(동생)의 시계보다는 빠르게 움직이는 현상을 보게 되는건가요? 그렇다면 지구의 시계는 단 하나인데, 지구에 있는 형 입장에서는 지구의 시계를 기준으로 1년이 지났을 때 이미 우주선이 등속운동을 하고 있겠지만, 동생 입장에서는 1년이 지났어도 여전히 가속도 운동을 하고 있는 모습으로 보이는 것이 맞나요?
(2013-10-21 오후 4:42:15)

회원
(study1021)

그리고 우주선의 입장에서 등속도 운동을 하는 구간인 17.3년이 되는 찰나에 지구의 시계를 보면 15년만 흐른 것 처럼 보인다고 했는데요. 그 순간 우주선에 탄 동생이 '지금부로 지구의 시계는 15년이 지났습니다.'라는 말을 했고, 이 말을 즉시 지구의 형이 들을 수 있다면, 지구의 형을 기준으로 지구의 시계로 봤을 때, 그리고 우주선의 시계로 봤을 때 몇 년이 되는 시기에 듣게 되는 건가요?
(2013-10-21 오후 5:03:36)

회원
(study1021)

7번 댓글을 읽으면서 다시 의문이 드는 점은, 지구에서 보든지 우주선에서 보든지 우주선이 굉장히 빠른 속도로 지구를 떠난게 맞다면, 어느 입장에서 보든 가속시간이 무시할 정도로 짧다는 것이고, 곧장 등속운동으로 접어들었다고 봐도 무방하다고 할 수 있지요? 그렇다면, 지구의 형이 우주선이 발사된 시점으로부터 5초 뒤에 집으로 가기 위해 발걸음을 돌렸다고 합시다. 그런데 이 5초는 우주선의 가속 시간에 비해 너무나도 긴 시간이므로, 이미 우주선은 등속운동 중이라고 봐야 될 것 같은데요. 그런데 우주선에서 봤을 때에는 지구의 시계가 2.5년(=10년/총가감속운동4회)은 흘러야 등속도 운동에 접어들게 되는데요. 그럼 우주선의 동생이 지구의 형을 봤을 때에는 5초 뒤에 발걸음을 돌린 장면은 물론이고 순식간에 2.5년 뒤의 모습을 보게 된다는 의미인가요? 만약 가속도 운동을 하는 동안 지구의 모습을 영상으로 볼 수 있다면 비디오로 빨리감기 하듯이 미래의 모습까지 보게 되는 건가요?
(2013-10-21 오후 5:37:22)

진영식
(herdre1)

다른것은 그럭저럭 다 이해가 가는데...가속이나 감속이 있다손 치더라도 상대성에 의해서
(2014-12-17 오후 2:01:43)

진영식
(herdre1)

우주선에서는 지구에 있는 사람의 시간이 느리게 가야 하는게 아닌가요 우주선의 동생 우주선의 동생생(3)시간은 무시하고 (4)는 10년을 주면 상대성 법칙에 어긋나잖아요 빛도없고 바람도없고 우주에서 우주선이 등가속도 한다면 내가 등가속 하는지 지구가 등가속 하면서 멀어지는지 알수 없지 않나요?...상대성 이론 끝까지 읽었는데 이 대목만 이해가 잘 안되네요
(2014-12-17 오후 2:06:16)

배호태
(sgd9900)

역시 시간문제는 이해하는데 어려움이 있습니다.... 설명에 등장하는 모든 경우 전부가 가정이었으므로... 처음부터 끝까지 등속운동으로 설명하는 것이 더 명쾌할 것 같습니다.... 그리고 동생이 볼땐 형이, 형이 볼땐 동생이 젊어 보인다....??. 그러면 제 3자가 보면 어떻게 보이나요?? 이 부분은 서로의 관찰이 아니라 3자의 관찰결과가 중요하다고 봅니다... 분명히 시간과 속도의 설명이기 때문입니다.
(2015-03-11 오후 6:19:21)

배호태
(sgd9900)

곰곰 생각을 해 보았는데요... 이 우주의 모든 공간에는 빛으로 채워져 있다...그리고 그 빛을 암흑물질이 덮고있다..우리가 알고 있는 빛의 발광체라는 것이 빛을 발하는 것이 아니라...이 암흑물질을 치우는 물질(에너지)를 내 보낸다면....저의 무지한 생각으론...시간의 동시성이나 .....빛의 산란성을 설명해도 별 무리가 없어 보입니다. 그리고 이 암흑물질을 매개로 전파의 전파도 괜찮을거 같은데.....여러 고수님들이 즐비한데...생뚱맞는 얘길해서...
(2015-03-14 오후 12:02:22)