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7-2. 방정식 E = mc² 구하기
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특수상대성이론의 부록에 나오는 E = mc²라는 방정식을 만드는 과정을 한번 살펴보자.
먼저 정지한 물체에서 전자기파(빛)가 방출되었다고 하자. 이때 E1은 전자기파를 방출하기 전 물체가 가지는 에너지, E2는 전자기파를 방출한 후 물체가 가지는 에너지, E는 방출되는 전자기파의 에너지라고 하면, 다음과 같은 식이 성립되겠지.
E1 = E2 + E ----(1)
만약 이 물체를 움직이는 사람이 본다고 하자. 그러면 이 사람의 기준으로 보면 상대적으로 이 물체가 움직이고 있겠지. 같은 물체를 이 사람의 기준으로 보면 질량이 늘어나기 때문에(움직이는 물체는 질량이 증가한다) 물체가 가지는 에너지도 달라지겠지.
이때 전자기파를 방출하기 전 물체가 가지는 에너지를 Em1, 전자기파를 방출한 후 물체가 가지는 에너지를 Em2, 방출되는 전자기파의 에너지를 Em이라고 하면, 다음 식이 성립되겠지.
Em1 = Em2 + Em ----(2)
여기에서 속도가 늘어남에 따라 질량이 변화하듯이, 방출되는 에너지 Em도 이에 비례하여 늘어나겠지. 즉, 질량 m이 m 으로 늘어나기 때문에, 방출되는 에너지 E도 E으로 늘어나지.
따라서 식 (2)는 다음과 같이 쓸 수 있겠지.
Em1 = Em2 + E ----(3)
식 (3)에 식 (1)을 빼면
(Em1 - E1) = (Em2 - E2) + (E- E) ----(4)
가 되겠지.
Em1은 운동하는 물체가 가지고 있는 에너지이고, E1은 정지하고 있는 물체의 에너지인데, 두 에너지의 차이(Em1 - E1)는 운동에너지의 차이가 되겠지. 따라서 식 (4)는 다음과 같이 쓸 수 있지.
Ek1 = Ek2 + (E- E) ----(5)
여기에서 Ek1은 전자기파를 방출하기 전의 운동에너지(Kinematic Energy)이고, Ek2는 전자기파를 방출한 후의 운동에너지이란다.
식 (5)에서 Ek2를 이항하면,
(Ek1 - Ek2) = (E - E) ----(6)
이 되고, 이 식의 의미는 전자기파를 방출하기 전의 운동에너지(Ek1)와 전자기파를 방출한 후의 운동에너지(Ek2)의 차이는 (E - E)가 된다는 뜻이 되지.
이제 물체의 움직이는 속도 v가 광속 c에 비해 적은 경우를 생각해보자.
v가 c에 비해 적으면 식 (6)은 다음과 같은 근사값을 가진단다.(근사값을 추출하는 과정은 아래에 다시 나온단다.)
E - E = ½(E/c² )v² ----(7)
이 값은, 움직이는 속도 v가 광속 c에 비해 적은 경우, 전자기파를 방출하기 전과 후의 운동에너지 차이(Ek1 - Ek2)이지. 따라서 운동에너지 Ek는
Ek = ½(E/c² )v² ----(8)
그리고 우리가 물리 시간에 배운 운동에너지 공식은 다음과 같은데, 이 공식은 움직이는 속도 v가 광속 c에 비해 적은 경우에 사용되지.
Ek = ½mv² ----(9)
식 (8)의 오른쪽 항과 식(9)의 오른쪽 항을 비교해보면,
E/c² = m
이 되고, E에 대해 정리하면
E = mc²
이 된단다.
마지막으로 식(7)을 증명해보자.
(E - E)에 들어 있는 의 값을 구하기 위해, 이항식(2개의 항을 가진 식)으로 표현하면  이 되겠지.
-v² /c² 을 x라 하고, 지수인 -½을 α라고 하면,
= = (1+x)α
가 되겠지. (1+x)α에서 x값이 아주 적을 때, 이항식의 근사값은 다음과 같단다.
(1+x)α = 1+αx ----(8)
따라서 식 (7)의 왼쪽 항은
E - E = E(1+αx) - E
가 되고, x대신 -v² /c², α 대신 -½을 대입하면
E - E = E(1+αx) - E = Eαx = E(-½)(-v² /c²) = ½E(v² /c²) = ½(E/c² )v²
이 된단다.
이로서 E=mc²에 대한 증명이 끝났단다.
혹시 영문판 특수상대성이론 원고를 보려면 아래 사이트에 가면 된단다.
http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/
그리고 E = mc²가 나오는 부록은 아래 사이트에 가보아라.
http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/www/
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