박홍균의 원리한자 / 포켓속의 미국 / 상대성이론

상대성이론

4-3. 중력장과 휘어진 시공간

앞의 글에서, 중력은 실제로 존재하는 힘이 아니고, 공이 땅에 떨어지는 이유는 휘어진 공간 때문이라고 이야기하였지. 하지만, 너는 '휘어진 공간'이란 말이 익숙하지 않을 거야. 따라서 나는 '휘어진 공간'이란 말 대신 '중력이 있는 공간'이란 말을 쓸 거야. 지금부터, '중력이 있는 공간'이란 말을 '휘어진 공간'과 같은 개념으로 이해하렴.

무중력 상태의 공간(휘어지지 않은 공간)에서 공을 앞으로 던지면 공은 직선을 그리며 똑 바로 나아가겠지. 하지만 중력이 있는 공간(휘어진 공간)에서 공을 앞으로 던지면, 공은 가속되면서 포물선을 그리며 땅에 떨어지지. 중력이 미치는 중력장에서는, 이와 같이 모든 물체가 포물선 운동을 하지.

[그림] 무중력 공간(휘어지지 않은 공간)에서 던진 공은 직선 운동을 하지만, 중력이 있는 공간(휘어진 공간)에서는 포물선 운동을 하지.

하지만 아인슈타인은 일반상대성이론에서, 무중력 공간이든 중력이 있는 공간이든 공은 직선 운동을 하고 있다고 이야기한단다. 뭐? 아인슈타인이 미친 게 아니냐고? 그건 아냐. 조금만 인내심을 가지고 이 글을 끝까지 읽어보자.

앞에서도 이야기했듯이, 아인슈타인은 '중력은 힘이 아니다'라고 생각했단다. 중력이 힘이 아니라면, 중력이 있는 공간에서 공을 던지더라도 공은 직선운동을 해야 하겠지. 그렇다면 왜 중력장에서는 위의 그림처럼 공이 직선으로 날아가지 않고 곡선을 그리면서 떨어질까?

아인슈타인은 사실 공은 직선으로 가지만, 공간이 휘어졌기 때문에 곡선으로 가는 것처럼 보일 뿐이라고 이야기했어. 즉, 휘어진 공간 속에서 공은 직선으로 가고 있지만, 우리 눈에는 곡선으로 보인다는 것이지. 이쯤이면 너는 이런 이야기를 하겠지.

"곡선이 직선이라고? 말도 안돼. 원을 보고 사각형이라고 하는 것과 무엇이 달라!"

네 말이 옳다. 하지만 이 글의 목적 중 하나가 '우리가 알고 있는 진리가, 진리가 아닐 수도 있다'는 이야기를 하기 위함이란 것을 염두에 두고, 내 이야기를 한 번 들어 보렴.

먼저, "직선이란 무엇인가?"에 대한 정의부터 해보자. '직선은 두 점 사이를 잇는 가장 짧은 경로이다'는 것은 너도 알 거야. 그러면 '가장 짧은 경로'가 무엇인지 생각해보자.

[그림] 점 A와 점 B를 잇는 직선

위의 그림을 보자. 점 A에서 출발한 빛이 점 B로 가는 방법은 여러 가지가 있어. 위의 그림처럼 직선으로 갈 수도 있고, 곡선으로 갈 수도 있다. 이 중 '가장 짧은 경로'는 직선이 되겠지. 이때 '가장 짧은 경로'는 빛이 A에서 B까지 가는데 걸리는 시간을 재어 볼 때, 가장 짧은 시간이 걸리는 경로라고 할 수 있지. 그리고 이와 같이 가장 짧은 시간에 빛이 지나가는 경로를 우리는 직선이라고 부르지. 너무나 당연한 이야기를 너무 길게 이야기하는 것 같아 미안하구나. 하지만 이야기는 지금부터야.

"빛은 가장 짧은 시간이 걸리는 경로로 지나간다."는 이야기는 페르마의 원리라고 부르는데, 페르마(Fermat, 1601~1665년)는 프랑스의 수학자로 수학에 많은 공헌을 한 사람이란다.(네가 다녔던 학원 중 '페르마 수학학원'이 있지? 바로 이 사람의 이름을 딴 것이란다.) 이 사람은 빛이 물속에 들어 갈 때 굴절하는 이유를 페르마의 원리로 설명을 한단다.

아래의 그림은, A에서 물 속에 있는 B까지 빛이 지나갈 수 있는 여러 가지 경로를 표시한 것이란다.

[그림] 빛의 굴절

"빛이 직진한다"는 원리를 적용하면 빛의 경로는 A와 B를 잇는 직선(경로 3)이 되겠지. 하지만 네가 물리 시간에 배웠듯이 빛은 물속에 들어가면서 굴절을 하게 되지. 그럼 왜 직진하지 않고, 굴절을 할까?

빛이 공기 속에서 지나갈 때에는 초속 30만 Km이지만, 물 속에서는 초속 22.5만 Km로 느려진단다. 그러면 A에서 출발한 빛이 B에 도달할 때까지 가장 시간이 적게 걸리려면, 속도가 느려지는 물속에는 가급적 경로를 짧게 하고, 대신 속도가 빠른 공기 속의 경로는 늘이는 것이 좋겠지.

[그림] A에 B까지 가장 빨리 갈 수 있는 경로는?

무슨 말인지 잘 이해가 되지 않으면 이렇게 이야기해 보자. 그림에서 윗부분은 모래사장이고, 아랫부분은 바다라고 생각하자. 너는 A 지점에 서있단다. 이때 B 지점에서 사람이 물에 빠졌단다. 그러면 네가 최대한 빨리 B까지 가려면 어떤 경로로 가는 것이 좋을까?

가장 간단하게 생각할 수 있는 경로는, A에서 B에 이르는 직선(경로 3)이 되겠지. 하지만 바다 물 속에서 헤엄치는 것 보다 모래 위를 뛰어가는 것이 빠르겠지. 그렇다면 조금 더 많이 뛰어 가더라도, 헤엄을 적게 치는 것이 더 빨리 도달할 수 있겠지. 그렇다면 모래 위에서 가는 거리가 좀 늘어나더라도 바다 속에서 거리가 짧아지는 편이 좋겠지. 이런 점을 고려하면 직선(경로 3)보다는 약간 오른쪽에 있는 경로(경로 4)가 더 빠르게 갈 수 있겠지. 그렇다고 가장 오른쪽에 있는 경로(경로 5)를 선택하면 모래에서 뛰어가는 시간이 너무 많이 걸려, 전체적으로는 시간이 더 걸릴 수 있지.

빛도 마찬가지지. 빛이 A에서 B까지 가장 빨리 가려면 직선으로 가는 것 보다, 약간 꺾여서 지나가는 것이 가장 짧은 시간이 걸린단다.(자연이란 정말 신기하지 않니? 흡사 빛이 인간처럼 의식을 가지고, 가장 빨리 지나 갈 수 있는 길을 찾는 듯한 느낌이 들지 않니?)

사막의 여행자들이 보는 신기루 현상도 같은 원리로 설명이 된단다.

[그림] 하늘의 푸른 빛이 땅 위 사막에서 호수처럼 보이는 신기루 현상

푸른 하늘에 있는 빛이 A 지점에서 B 지점까지 갈 때, 차가운 공기 속에서 직진을 하는 것 보다는, 뜨거운 공기를 통과하면서 돌아가는 것이 더 빨리 갈 수 있기 때문이지.

차가운 공기는 밀도가 높아 빛의 속도가 느리고, 뜨거운 공기는 밀도가 낮아 빛의 속도가 빠르기 때문에, 빛의 입장에서는 좀 돌아가더라도 뜨거운 공기 속을 지나가는 편이 시간이 적게 걸리기 때문이지.

사막의 여행자는 아래 방향에서 오는 빛을 보고, 땅에 푸른 호수(사실은 하늘의 푸른 빛)가 보인다고 착각하는 것이 신기루 현상이란다.

직선의 정의가 가장 짧은 시간이 걸리는 빛의 경로라고 정의한다면, 빛의 굴절이나 신기루의 경우에는 지금까지 우리가 아는 직선과는 모습이 다르지. 즉, 밀도가 다른 물질 사이를 통과하는 빛의 경로 중 시간이 가장 적게 걸리는 경로는 우리가 지금까지 생각해온 것과는 다르다는 것을 보여주지.

아인슈타인의 일반상대성이론에서는, 밀도가 다른 물질 사이를 빛이 지나 가는 경우와는 달리, 중력을 받으면 공간 자체가 휘어진다고 이야기하고 있단다.

[그림] 휘어져 흐르는 강물이 있다. 이 때 점 A에서 점 B까지 헤엄쳐 가려면 점선 보다는 굵은 선을 따라 가는 것이 가장 빨리 갈 수 있단다.

만약 공간이 휘어져 있다면, 공이 곡선으로 날아가는 것처럼 보이지만 사실은 직선(가장 빨리 갈 수 있는 경로)으로 가고 있겠지. 반대로 직선으로 가는 것이 사실은 곡선으로 가고 있는 것이라고 볼 수 있을 거야. 하지만 네가 이 말에 대해 조금만 생각해 보면 아마도 이런 의문을 갖게 될 거야.

"공간이 휘어져서 포물선 운동을 한다고? 그렇다면 야구공을 던졌을 때와 총알을 쏘았을 때, 똑같은 중력을 받으면 똑같이 휘어진 공간을 지나가야 하잖아? 그런데 야구공이 날아갈 때 포물선 경로는 크게 휘어지지만, 총알이 날아갈 때는 크게 휘어지지 않는 이유는 뭐야?"

[그림] 3차원(x,y,z) 공간 좌표계에서 야구공이 그리는 포물선의 곡률(휘어진 정도)은 총알이 그리는 곡률보다 크다. (z축은 생략했단다.)

이 질문에 대한 답변에 앞서, 네가 민코프스키라는 사람을 기억하는지 궁금하구나. 민코프스키는 아인슈타인의 스승이면서 동시에, 아인슈타인의 특수상대성이론을 보고는 4차원 시공간이라는 개념을 만들어 아인슈타인이 일반상대성이론을 만드는데 기여를 했다고 앞에서 이야기했지.

아인슈타인은 중력으로 인해 휘어지는 공간이 3차원이 아니라, 우리가 살고 있는 4차원이라고 했단다. 즉 공간이 휘어진 정도(수학에서는 이런 값을 곡률이라고 부르지)를 고려할 때 x,y,z로 이루어진 3차원 좌표에 시간 t를 추가적으로 고려해야 한다고 했단다.

3차원 공간 상에서 야구공과 총알의 경로를 보면 곡률이 다른데, 야구공과 총알이 날아가는 시간을 고려한 4차원 시공간에서 곡률을 계산하면 같은 값이 나온다는 것이지.

그럼 4차원 시공간 좌표계에서 야구공과 총알이 날아가는 경로를 그려보자. 이때 시간 t를 거리로 환산하면 시간 t에 광속 c(300,000km/초)를 곱하면 된단다.(앞에 나온 '4차원의 시공간 - 민코프스키 공간'을 참조)

[그림] 4차원 시공간 좌표계에서의 포물선 모습. xy면에 시간(ct) 축을 추가한 모습.

위의 그림은 xy면에 시간(ct) 축을 추가한 모습이란다. 시간(ct) 축이 너무 길어지기 때문에(c가 300,000이니까), 지면 관계 상 위의 그림은 시간(ct) 축을 축소시켜 그려 놓았단다. 만약 이 2개의 포물선을 한 면 위에 놓았을 때의 모습은 아래 그림과 비슷하고(실제로는 가로축의 길이가 엄청나게 길 거야), 2개의 포물선은 곡률이 똑같음을 알 수 있을 거야.

[그림] 위의 그림에 있는 두 개의 포물선을 한 면에 올려 놓았을 때 모습

만약 중력의 크기가 작다면 야구공이나 총알은 더 멀리 날아가고, 따라서 곡률은 적어지겠지. 일반상대성이론에서는 중력의 크기가 시공간이 휘어진 정도(시공간의 곡률)를 결정한다고 이야기하지.

그리고 빛도 공과 마찬가지로 휘어진 공간을 가기 때문에, 중력을 받으면 빛도 휘어져 간단다. 하지만 속도가 너무 빨라 휘어진 정도가 너무 적어서 직선으로 가는 것처럼 보일 뿐이지. 그리고 빛은 가장 짧은 시간이 걸리는 경로로 지나가기 때문에, 빛이 휘어져 가는 경로가 직선이다는 것이지.(앞에서 말한 페르마의 원리를 생각해 보렴.)

그럼 지금까지의 이야기를 요약해 보자.

(1) 중력은 힘이 아니다.
(2) 모든 관찰자에게는 같은 물리 법칙이 성립한다.(갈릴레이의 상대성원리)
(3) 중력이 힘이 아니고, 모든 관찰자에게 같은 물리 법칙이 성립하려면, 중력이 없는 곳에서 직선 운동을 하는 공은, 중력이 있는 곳에서도 직선 운동을 해야 한다.
(4) 직선 운동을 해야 하는 공이 포물선 운동을 하는 것처럼 보이는 것은, 시공간이 휘어져 있기 때문이다.

질량으로 인해 휘어진 4차원 공간을 직접 눈으로 보는 것은 힘들지만, 수학적으로 표현하는 것은 가능하단다. 아인슈타인의 일반상대성이론이 바로 휘어진 4차원 공간을 수식으로 표현하고 있단다. 하지만 그럼에도 불구하고, 휘어진 공간에 대한 이해를 돕기 위해 비슷하게라도 표현하면 다음과 같단다.

풍선과 같은 아주 얇은 고무 막을 펼쳐 놓고 이곳에 무거운 볼링 공을 올려두면, 아래의 그림과 같이 볼링 공이 있는 곳은 아래로 내려가겠지. 이런 상태에서 고무 막 위로 조그마한 구슬을 올려 놓으면 그 구슬은 경사를 따라 볼링 공 쪽으로 굴러가서 볼링 공에 붙겠지.

[그림] 휘어진 공간.

만약 볼링 공을 지구라 하고 조그마한 구슬은 사과라 하면, 아인슈타인은 사과가 지구로 떨어지는 이유가 휘어진 공간을 따라 사과가 움직일 뿐이라는 거야. 다시 한번 정리하면, 뉴턴은 "중력이라는 눈에 보이지 않는 힘이 사과를 땅에 떨어지게 했다."고 이야기하지만, 아인슈타인은 "중력이라는 힘은 애초부터 없었고, 질량이 주변 공간을 휘게 만들며, 사과는 이 휘어진 공간을 따라 움직일 뿐이다."고 이야기하고 있지. 다르게 표현하면 "물질의 질량은 공간이 휘어진 정도(공간의 곡률)를 결정하고, 공간은 물질의 운동을 결정한다"고 할 수 있겠지.

그럼 지구에서 하늘을 향해 공을 던지면 어떻게 될까? 지구에서 공을 위로 던지면, 공은 휘어진 경사면을 올라가다가 지구로 다시 돌아오겠지. 만약 매우 빠른 속도(예를 들어, 초속 12km)로 공을 던지면, 그 공은 경사면 위로 올라가 곧장 앞으로 나아가서 영원히 지구로 돌아오지 않게 되지.

이제는, 구슬이 아주 빠른 속도로 고무 막 위로 굴러간다고 해보자. 그러면 그 구슬은 경사면에 빠지지 않고, 볼링 공 옆으로 지나치겠지(아래 그림에서 U에 해당). 만약 속도를 조금 느리게 한 상태에서, 각도를 조절하면 볼링 공 주변을 원을 그리며 회전하거나(아래 그림에서 C에 해당), 타원을 그리며 회전하겠지(아래 그림에서 E에 해당). 속도가 조금 더 느리다면 나선을 그리며 볼링 공으로 다가 가겠지.(수명을 다한 인공위성이 지구에 떨어질 때 이렇게 떨어진단다.)

[그림] 휘어진 공간으로 지나가는 물체

아주 빠른 속도로 날아가는 빛은 위의 그림에서 U에 해당하고, 지구가 태양 주위를 도는 것은 위의 그림에서 C에 해당하고, 핼리 혜성이 태양 주위를 도는 것은 E에 해당한다고 아인슈타인은 이야기하지.

결국, 일반상대성이론에서는 중력이 있는 시공간에서나 중력이 없는 시공간에서나 똑같은 물리 법칙이 성립하는데, 다만 중력이 있는 시공간에서는 시공간이 휘어져 있기 때문에 다르게 보일 뿐이라는 것이야. 이 이야기를 다르게 표현해보면, 하나의 물리 법칙이 모든 시공간에 똑같이 적용되려면, 중력을 받는 시공간(즉, 질량 주변의 시공간)은 휘어져야 한다고도 말할 수도 있겠지. 또 다르게 표현하면 '아인슈타인의 상대성이론은 운동 법칙의 절대성을 고수하기 위해 시공간에 상대성을 부여했다.'는 이야기가 되지.

이성수
(sslee000)

중력이 없다면 왜 하늘로 던진것이 다시 지구로 내려와야 하죠? 그냥 날라가야 하지 않나요?
(2013-05-02 오후 1:32:27)

박홍균
(hkpark)

공간이 휘어져 있기 때문입니다. 위의 그림처럼 공간이 휘어져 있어서 휘어진 공간을 따라 움직이기 때문입니다. 쉽게 말하면, 위의 볼링 공에서 탁구공을 바깥 방향으로 굴리면 오르막을 올라가다가 다시 내려오는 것과 같은 원리입니다.
(2013-05-04 오후 10:52:43)

박홍균
(hkpark)

만약 엄청나게 빠른 속력으로 굴리면 지구를 벗어나겠지요. 이런 속력을 탈출 속력이라 부릅니다. 그리고 지구의 탈출 속력은 11.2km/초입니다.
(2013-05-05 오후 1:26:16)

정석원
(pavure)

결국 중력이란 실존하는 힘이 아니라, 질량으로 인해 휘어진 공간에 의해 물체가 반응하는 것(사과..) 을 설명하기 위한 가상의 개념이다... 라고 이해하면 맞을까요?
(2013-10-08 오후 1:58:40)

정우람
(wolfraider)

"중력은 실제 힘이 아니라 시공간의 휘어짐이다."라는 것을 설명하기 위해 구슬로 눌려 일그러진 평면으로 설명하는 것이 이해가 되지 않습니다. 그 평면을 설명하는 데도 중력이 없다면 설명이 안되거든요. 중력이 있어야 구슬로 인해 일그러진 경사로 내려 가는 거잖아요..
(2013-10-10 오후 11:07:09)

박홍균
(hkpark)

4번의 대답은 예입니다. 5번은... 중력이 없다는 것을 설명하기 위해 중력이 있어야한다는 자가당착에 빠지네요. 하지만 이 그림은 보통 일반인의 이해를 돕기 위해 과학자들이 만든 그림이니까, 이해하는 데에만 참조하시기 바랍니다.
(2013-10-18 오후 5:01:31)

김원식
(vtr7942)

조도행님은 중력은 힘이아니다 라는 글을 다시읽고 이해하시거나 다른 자료를 보셔야할듯..
(2014-12-06 오후 3:07:40)

배호태
(sgd9900)

역시 이 부분에서도 이해가 힘드는군요.... 중력에 의해 휘어진 공간을 따라 지구가 태양 주위 원운동을 하는 것은 알겠는데.... 그러나 지구가 밖으로 탈출하려는 힘과 잡아당기는 힘의 균형에서 원운동을 한다....라고 배웠는데.. 원운동을 하는 에너지는 어디서 나오는지 설명이 없어서....휘어진 라인을 따라 원운동을 하는 힘은 어디서 나오는 걸까요?...
(2015-03-15 오후 3:27:03)

오진승
(ojs3859)

인터넷도 시간의 영향을 받나요?
(2015-06-03 오후 11:02:09)

박성원
(kemi1234)

중력이란 = 질량을 가진 어떤 물체로 인해 발생되어진 공간의 휘어짐이라 표현하기 보다는..그 물체가 존재하기 위해 밀어낸 공간의 변형이라 보는게 맞지 않을까 합니다..즉, 공간이라는 것도 밀도가 높은 곳과 낮은곳이 존재 할 거라는 것이죠..어떤 물체의 주위는 주변 공간밀도가 높아지면서 휘어질 것이고 ..설명이 넘 길어서 줄입니다.. 아울러, 지구와 같은 크기의 행성이면서 질량이 두배이면 주면 공간밀도도 2배만큼 커지기에 휘어짐 정도가 더 클거라는 것이죠...여기서 밀도라는 것은 이해하기 쉽도록 임의로 정한 것입니다...
(2017-03-09 오전 11:17:10)

박성원
(kemi1234)

즉, 솜과 쇠구슬이 똑같은 1kg이라고 할때 솜의 부피는 쇠구슬보다 크다는게 일반적인 사실입니다...그러나 솜을 쇠구슬만큼 압축시키면...그냥 똑같다라고 하겠죠...구성하는 물질이 무거우면 무거울수록 질량은 커지고 이에 따라 밀어낸 공간도 크므로 공간의 변형량도 크겠죠...결국, 블랙홀을 설명할때도 질량이 무한대라고 표현하는 것 보다 무한대의 질량을 가지는 물질 상태라고 하는 것이 맞지 않을까 합니다.
(2017-03-09 오전 11:23:55)

박성원
(kemi1234)

따라서, "공간"이라는 것도 밀어내고 밀려날 수 있는 어떤 물질 상태라 이해하는게 가장 쉬울 듯 합니다...사방이 막힌 수조에 구슬을 넣으면 그 양만큼 주변 압력이 늘어 날 겁니다 단, 구슬 표면에 작용하는 것만 생각합시다...수조 벽면까지 생각한다면 우주 공간의 끝을 논해야 하니 아직 인간으로서는 알 수 없기때문에..
(2017-03-09 오전 11:27:23)