박홍균의 원리한자 / 포켓속의 미국 / 상대성이론

상대성이론

4-7. 중력장과 시간의 지연

특수상대성이론에서, 아주 빠른 속도로 이동하면 시간이 느리게 간다는 이야기를 했지. 그럼 중력이 있는 공간(휘어진 공간)에서 시간은 어떻게 변하는지 알아보자.

일반적으로 정확하게 시간을 재기 위해서는 원자에서 나오는 전자기파의 진동수를 이용한단다. 현재 네가 사용하는 휴대폰은 GPS 위성에서 보내주는 시간을 시용하는데, GPS 위성에서 사용하는 시계는 세슘(Cesium, 원소 기호 Cs, 원자번호 55) 원자 시계를 사용한단다. 세슘 원자에서 나오는 전자기파는 1초에 약 92억 번 진동하는데, 이렇게 진동하는 시간을 1초로 삼기 때문에 아주 정밀하지.

그러면 중력이 있는 공간의 시간은 어떤지 알아보기 위해 사고 실험을 해보자.

지구에서 사는 정수가 세슘 원자 시계를 가지고 있고, 지구에서 멀리 떨어진 무중력 공간에 사는 동수도 세슘 원자 시계를 가지고 있다. 지구의 정수가 가진 세슘 원자 시계는 1초에 92억 번 진동하는 전자기파를 내어 놓겠지. 그리고 지구에서 멀리 떨어진 무중력 공간에서 동수가 정수의 시계에서 나오는 전자기파의 진동수를 보면서 자신의 시계와 비교해 본다고 가정해보자.

지구에서 출발하는 전자기파가 지구의 중력장을 벗어나려면 에너지가 감소한단다. 예를 들어, 연료를 가득 싣고 지구에서 발사된 로켓이 지구의 중력을 벗어나려면 연료를 소진하는 것과 같은 원리이지.

지구의 중력장을 벗어난 전자기파는 에너지가 감소하는데, 전자기파의 에너지가 감소한다는 이야기는 전자기파의 진동수가 감소하는 것을 의미하지.('전자기파의 에너지는 전자기파의 진동수와 비례한다'는 이야기는 앞에서 맥스웰에 대한 이야기를 할 때 이미 나왔었지.) 따라서, 무중력 공간의 동수가 보면, 정수 시계의 진동수는 자신의 시계의 진동수보다 적고, 따라서 시계는 느리게 간다고 판단하겠지.

[그림] 중력장을 벗어나면서 에너지가 감소하여 파장이 길어지는(진동수가 감소하는) 빛

예를 들어, 정수의 시계는 1초에 92억 번 진동하지만, 동수가 볼 때에는 1초에 50억 번 진동하는 것으로 보이겠지.(실제로, 지구의 중력 정도로 이렇게 큰 차이가 나지는 않는단다. 이해를 돕기 위해 과장한 것이란다.) 좀 더 쉽게 이 이야기를 하면, 정수가 가지고 있는 괘종시계의 추가 92번 왕복하는 데, 동수가 볼 때에는 50번 왕복하는 것으로 보인다는 것이지. 즉 괘종시계의 추가 느리게 움직이고, 나머지 물체도 이와 같이 느리게 움직이는 것으로 보이겠지.

이번에는 반대로 무중력 공간의 동수 시계를 지구의 정수가 보는 경우를 생각해 보자. 동수 시계는 1초에 92억 번 진동하는 전자기파를 발산하겠지. 이 전자기파가 중력이 있는 지구에 도착하면, 중력에 의해 에너지가 증가하겠지. 전자기파의 에너지가 증가한다는 이야기는 전자기파의 진동수가 증가하는 것을 의미하지. 따라서 지구의 정수가 보면, 동수 시계의 진동수가 자신의 시계의 진동수보다 많고, 따라서 동수 시계는 자신의 시계보다 빠르게 간다고 판단하겠지.

[그림] 중력장이 진입하면서 에너지가 증가하여 파장이 짧아지는(진동수가 증가하는) 빛

예를 들어, 동수의 시계는 1초에 92억 번 진동하지만, 정수가 볼 때에는 1초에 150억 번 진동하는 것으로 보이겠지. 좀 더 쉽게 이 이야기를 하면, 동수가 가지고 있는 괘종시계의 추가 92번 왕복하는 데, 정수가 볼 때에는 150번 왕복하는 것으로 보인다는 것이지. 즉 괘종시계의 추가 빠르게 움직이고, 나머지 물체도 이와 같이 빠르게 움직이는 것으로 보이겠지.

결론적으로, 중력이 없거나 약한 공간에서 중력이 강한 공간의 시계를 보면, 항상 시간이 느리게 간다는 것을 알 수 있지.

특수상대성이론에서는, 자신에 대해 움직이고 있는 상대방의 시계가 항상 느리게 갔었지. 즉 정수가 동수를 보면 동수의 시간이 느리게 가지만, 동수가 정수를 보면 정수의 시간이 느리게 가지. 이 이야기가 모순처럼 보이지만, 사람마다 시간이 다르게 간다고 생각하면 모순될 것이 없지. 하지만 일반상대성이론에서는, 중력이 강한 공간에서 항상 시간이 느리게 간단다. 따라서 시간의 지연 현상에 관한 한, 일반상대성이론이 특수상대성이론보다 이해하기가 휠씬 쉽단다.

이제 이 이야기를 좀 더 응용해보자. 지구의 중력은 지구에서 멀어질수록 작아지지. 따라서 바다 위 보다는 높은 산에서 중력은 더 작겠지. 만약 인공위성처럼 지구에서 몇 십 km나 멀리 떨어져 있다면, 중력은 더욱 작아지겠지. 중력이 작아지면 시간이 더 빨리 흐르지.

더 나아가서, 아주 정밀하게 시간을 측정할 수 있다면, 내 발 쪽의 시계보다 내 머리 쪽의 시계가 시간이 더 빨리 흐르는 것을 알 수 있겠지. 물론 이러한 시간 차이가 아주 작아 무시하더라도 우리가 살아가는데 전혀 지장이 없단다. 예를 들어, 해수면과 높이 8천m의 에베레스트산 사이의 시간 차이는 3만5천년 동안에 1초 정도의 차이가 난단다. 하지만 지구에서 멀리 떨어진 인공위성이라면 무시할 수 없는 차이가 난단다.

자동차의 네비게이터나 네가 사용하는 휴대폰은, GPS 위성에서 보내주는 신호로 너의 현재 위치를 지도상에 표시한단다. GPS 위성이 네비게이터에 보내주는 신호에는, 신호를 보내는 시간과 GPS 위성의 위치가 들어 있단다. 네비게이터는 위성이 보낸 시간과 자신의 시간의 차이에 빛의 속도를 곱하여 GPS까지의 거리를 구한단다. 예를 들어 아래 그림에서 위성3에서 보내준 시간과 네비게이터의 시간이 0.3초 차이가 난다면(즉 위성3에서 네비게이터까지 신호가 오는데 0.3초 걸렸다면), 둘 사이의 거리는 0.3초X30만lm/초=9만km가 되겠지.

[그림] 3개의 위성의 위치와 위성까지 거리를 알면, 위성의 위치를 중심으로 거리가 반지름이 되는 3개의 원을 그려서, 원이 만나는 점을 구하면 되지.

따라서 위성이 정확한 시간을 보내 주지 않으면 내비게이터나 휴대폰은 자신의 위치를 정확하게 계산할 수 없단다.

그럼 GPS 위성의 시계에 상대성이론이 어떻게 적용되는지 살펴보자.

GPS 위성은 제 자리에 있지 않고 12시간 마다 지구를 한 바퀴 돈단다.(이렇게 빨리 돌지 않으면 지구에 떨어지기 때문이지. 또 더 빨리 돌면 지구의 중력권에서 탈출하게 되지.) 속도를 계산해 보면 초속 4Km가 된단다. 따라서 특수상대성이론(빠르게 움직이는 물체는 시간이 느리게 간다)을 적용하면, 위성에서는 하루에 100만 분의 7.1초 느리게 간단다.

[그림] GPS 위성은 전세계를 커버하기 위해 27개가 궤도를 도는데, 이중 24대는 사용되고 나머지 3대는 비상시를 위한 준비용이란다.

다음으로. GPS 위성은 지상에서 2만km나 떨어져 있단다. 지구의 반지름이 6천7백km인 점을 감안하면 꽤 많이 떨어져 있지. 따라서 중력이 아주 약하단다. 일반상대성이론(중력이 약한 곳에서는 시간이 빨리 간다)을 적용하면, 위성에서는 하루에 100만 분의 45.7초 빨리 간단다.

결국 이 두 가지 효과를 모두 고려하면 위성의 시계는 하루에 100만 분의 38.6초 빨리 간단다. 만약 이 시간을 보정해주지 않으면, 자동차의 위치는 30만km/초 X 38.6/100만 = 11.58km의 오차가 생기게 되지. 하루에 이 정도의 오차가 생기면, 네비게이터를 사용할 수 없게 되지. 만약 아인슈타인이 상대성이론을 만들지 않았다면, 자동차 내비게이터는 없었을 거야.

'중력이 있는 공간에서 시간이 느리게 간다'는 사실을 등가원리에 적용하면 '가속하는 공간에서 시간이 느리게 간다'는 결론이 나오겠지.

[그림] 등가원리에 의해, 중력이 있는 공간에서 시간이 느리게 가면, 가속하는 공간에서도 시간이 느리게 간단다.

'가속하는 공간에서 시간이 느리게 간다'는 이야기를 앞의 특수상대성이론에서 이야기한 쌍둥이 역설에서 조금 나왔었지. 즉 지구에 남은 형과 우주선을 타고 가는 동생 중 누가 더 젊어지느냐는 이야기에서, 가속운동을 한 우주선을 탄 동생이 더 젊어진다는 이야기 말이야.

결론적으로 말해, 중력이 있는 공간이나 가속하고 있는 공간에서는, 공간과 함께 시간도 휘어진다고 할 수 있지.

PS) 위에서는, 중력장에서 시간이 느리게 가는 이유를 전자기파의 파장(혹은 진동수)으로 설명하였는데, 특수상대성이론에서 시간이 느리게 가는 이유를 전자기파의 파장으로 설명해보자.

아래의 그림은 특수상대성이론에서 시간의 지연에 대해 이야기했을 때 나온 그림이란다.

[그림] 정지한 로켓 보다 움직이는 로켓에서 파장이 길어지는(진동수가 감소하는) 빛

먼저 빛(전자기파)의 파동을 눈으로 볼 수 있다고 가정하고, 그림과 같이 로켓의 바닥에서 출발하여 천장에 닿을 때까지 2파장 앞으로 갔다고 가정해보자. (실제로는 수천억번이 넘겠지만, 계산의 편리 상 2파장이라고 하자) 정지한 로켓에서 2파장 앞으로 갔다면, 움직이는 로켓에서도 똑같이 2파장 앞으로 가겠지.

정지한 로켓에서 보다 움직이는 로켓에서 빛이 간 거리가 길어진다면, 이에 비례해서 빛(전자기파)의 파장이 길어지겠지. 위의 그림을 보면 움직이는 로켓(아래쪽 로켓)의 파장이 길어지는 것을 알 수 있을 거야. 파장이 길어지면(즉, 진동수가 감소하면) 위에서 보았듯이 시간이 지연된단다.

위의 이야기를 요약하면, 다음과 같단다.

(1) 움직이는 로켓에서는 빛의 이동 거리가 길어진다.
(2) 빛의 이동 거리가 길어지면, 비례하여 빛의 파장도 길어진다.(즉 진동수가 줄어든다)
(3) 진동수가 줄어들면 시간이 느리게 간다.
(4) 결론적으로, 움직이는 로켓에서의 시간이 느리게 간다.

'움직이는 물체에서는 시간이 느리게 간다'는 특수상대성이론을 증명하는 방법은 이외에도 여러가지가 있는데, 이 글의 부록에 있는 '민코프스키의 세계선'에서는 좌표 상에서 그림으로 증명을 하는 방법이 나온단다.