이로서 아인슈타인의 특수상대성이론에 대한 이야기가 모두 끝났단다. 이제 일반상대성이론에 대한 이야기가 남아있지. 하지만, 일반상대성이론을 이해하기 위해, 특수상대성이론에서 하나 더 알아야 하는 것이 있단다. 공간과 시간의 관계가 그것이란다.
특수상대성이론에서 움직이는 물체에서의 시간은 느리게 흐르고, 길이는 짧아진다는 이야기를 했지. 이런 사실로 미루어 볼 때 시간과 길이(공간)은 밀접하게 관련이 되어있다고 볼 수 있단다.
 "과학적 사고를 하는 사람들은 시간이 공간의 한 종류임을 잘 알고 있다. 우리는 공간 속에서 앞뒤로 자유롭게 움직일 수 있듯이, 시간을 따라 과거-미래로 자유롭게 움직일 수 있다."
이 이야기는 영국의 공상과학 소설가 웰스(Wells, 1866 ~ 1946년)가 1895년에 출판한 《타임머신》이란 책에 실려 있는 말이란다. 타임머신은 영화로도 만들어졌지. 웰스는 2005년에 스필버그 감독이 만든 영화 《우주전쟁》의 원작자이기도 하지.
[사진] 1960년 영화 《타임머신》에 나왔던 타임머신
사실 시간을 거슬러 올라간다는 생각은 이전에도 했지만, 시간과 공간이 같은 종류라는 이야기를 과학자가 아닌 공상과학 소설가가 먼저 이야기를 했다는 사실이 재미있지 않니?
소설에서 주인공은, 굵기가 0인 1차원 직선이나 두께가 0인 2차원 평면이 실제로 존재할 수 없고 상상 속에만 있듯이(그리스 철학자 플라톤은 이와 같은 것을 이데아(idea)라고 불렀지), 시간이 0인 3차원 정육면체도 실제로 존재하지 않는다고 하지. 왜냐하면, 굵기가 0인 직선을 우리가 볼 수 없듯이, 단 한 순간도 지속하지 않는 정육면체도 실제로 존재할 수 없고 상상 속에서만 존재가 가능하고, 현실 속에서 존재하려면 시간도 함께 있어야 한다며 다음과 같이 이야기하지.
"모든 진짜 물체는 틀림없이 범위가 4 방향이어야 합니다. 길이, 폭, 두께 그리고 지속 시간이 있어야 합니다. 실제로는 4차원이 있습니다. 공간의 3차원과 시간이라는 4번째 차원 말입니다."
시간이 공간의 한 종류이고, 우리가 살고 있는 세계가 3차원이 아니라 4차원이라는 이야기를 한《타임머신》이 출판된 10년 후, 아인슈타인의 특수상대성이론이 나왔단다. 그리고 웰스의 이야기가 사실이라는 것이 증명되었단다.
아인슈타인이 스위스 취리히에 있는 대학을 다니고 있을 때, 그의 스승 중에 민코프스키(Minkowski, 1864~1909년)라는 수학 교수가 있었단다. 아인슈타인은 수학을 자신이 물리를 공부하는데 필요한 정도로만 공부를 했고, 그 이상은 필요 없다고 생각했지. 이런 이유로 민코프스키 교수 강의의 후반부에는 아예 들어가지 않았단다. 민코프스키는 아인슈타인이 공부를 안 하는 게으름뱅이라고 생각해서 아인슈타인을 매우 싫어했다고 해. 심지어 아인슈타인을 게으른 개라고 불렀단다.
[사진] 1896년 10월부터 4년간 아인슈타인이 다녔던 취리히 폴리테크닉(Zurich Polytechnic School). 1911년에 스위스연방공과대학(일명 ETH 취리히)로 바뀌었다.
아인슈타인이 1905년 특수상대성이론을 발표하자 민코프스키는 이 논문을 읽어 보고는 특수상대성이론을 4차원 시공간이란 개념으로 재해석하여, 1907년 괴팅겐 수학학회에 발표를 하게 되었지. 사실 이때까지만 하더라도 아인슈타인의 특수상대성이론은 사람들의 관심을 거의 끌지 못했지. 하지만 민코프스키의 발표 이후 특수상대성이론은 널리 알려지게 되었고, 이후 많은 사람들이 이 이론을 받아들였지.
아인슈타인은 민코프스키의 논문을 처음 보았을 때, 말도 안 되는 이야기라며 콧방귀를 뀌었단다. 하지만 나중에 아인슈타인은 민코프스키의 4차원 시공간 개념을 바탕으로 일반상대성이론을 완성하였단다. 하지만 불행히도 민코프스키는 아인슈타인이 일반상대성이론을 발표하는 것을 보지 못하고 1909년 맹장염에 걸려 45세의 나이로 숨을 거두었단다.
아인슈타인은 민코프스키가 죽고 난 후, 그가 쓴 책에 이런 이야기를 하지.
"민코프스키가 얼마나 중요한 공헌을 했는지 여러분이 잘 알아차리지 못할지도 모르겠습니다. 만약 민코프스키의 개념이 없었다면, 일반상대성이론은 입고 있던 낡은 옷을 벗어 던지지 못했을 것이고, 그 결과 더 이상 발전할 수 없었을 것입니다."
스승인 민코프스키는 자신이 싫어했던 제자를 유명하게 만들어주었고, 더 나아가 그 제자가 큰 업적을 이루는데 결정적인 도움을 주었지. 세상이란 정말 아이러니하지 않니?
자, 이제 본론으로 들어가 보자.
우리가 사는 공간이 3차원이라는 것은 누구나 아는 사실이지. 하지만 민코프스키는 우리가 살고 있는 세상이 공간과 시간이 합쳐진 4차원의 세계라는 것이지. 즉 시간과 공간은 별개가 아니고 하나라는 것이야.
지금까지 우리는 시간과 공간은 서로 관련이 없고, 서로 독립적이라고 생각해왔기 때문에, 시간과 공간을 같은 성질의 것으로 취급하는 것에 대해 우리의 무의식은 엄청난 거부 반응을 일으킬 거야. 하지만 시간이 변하면 공간도 따라 변한다는 상대성이론에 따르면, 시간과 공간은 서로 독립적이 아니라 분명 서로 관련이 있다는 것이지.
수학시간에 1차원은 선 좌표 (x), 2차원은 평면 좌표 (x,y), 3차원은 공간 좌표 (x,y,z)로 표현하는 것을 배웠지. 민코프스키는 4차원 시공간 좌표로 (x,y,z,t)로 표현을 하였단다. 이때 t는 시간을 나타내지. 시공간 좌표인 (x,y,z,t)는 공간 상의 위치인 (x,y,z)에 시간을 나타내는 t를 더한 것인데, 이 좌표의 물리적인 의미는 어떤 공간(x,y,z)에서 어떤 시간(t)에 일어난 사건을 의미하지.
이해를 돕기 위해 사고실험을 하나 해보자.
2010년 10월 10일 10시 정각에 태양을 관찰하기 위해 망원경을 보고 있는데, 태양 표면에서 큰 폭발이 일어났단다. 그런데 이 순간 옆에 있는 물 컵을 손으로 쳐서 물을 쏟았다고 한다면, 태양 표면의 폭발과 물이 쏟아진 사건은 동시에 일어났다고 이야기할 수 있지.
그런데 태양 표면에서 일어난 폭발은 사실 8분 전인 9시 52분에 일어난 것이지. 즉 폭발 장면이 지구까지 오는데 8분 정도 걸리니까. 하지만 지구에서는 10시 정각에 폭발이 일어났다고 이야기하지.
[그림] 9시 52분에 일어난 태양 표면의 폭발이 지구에서는 10시 정각에 관찰
태양 표면에서 폭발이 일어난 사건을 4차원 좌표로 기술해보면 (x,y,z,9시52분)가 되겠지. 이때 x,y,z는 지구의 나를 기준(원점)으로 한 태양의 좌표라고 가정하자. 이제 지구에 있는 나의 관점에서 이 사건을 4차원 좌표로 기술해보면 (0,0,0,10시)가 되겠지. 내가 물을 쏟은 사건도 (0,0,0,10시)가 되지.
[그림] 태양 표면에서 폭발이 일어난 사건을 지구와 태양의 4차원 좌표 (x,y,z,t)로 표현
여기에서 위의 사건들을 조금 정리를 해보자.
(1) 지구에서 내가 물을 쏟은 사건: 4차원 좌표로 (0,0,0,10시)
(2) 지구에서 본 태양 표면의 폭발 사건: 4차원 좌표로 (0,0,0,10시)
(3) 태양에서 표면이 폭발한 사건: 4차원 좌표로 (x,y,z,9시52분)
여기에서 (1)과 (2)는 동시(같은 시간)에 일어난 사건이라는 것은 이해가 되겠지.
다음으로 (2)와 (3)을 살펴보자. (2)와 (3)은 동일한 폭발 사건이지만, 공간 좌표와 함께 시간 좌표가 달라졌지. 하지만, 민코프스키는 (2)와 (3)을 '동시'에 일어난 사건으로 간주했단다. '동시(同時)'라는 낱말은 '같은 시간'이란 뜻을 가졌지만, 여기에서는 그런 뜻으로 사용되는 것은 아니란다. 굳이 이야기하자면 시공간의 같은 지점이라고 이야기해야 하겠지. 또 민코프스키는 두 점 - (0,0,0,10시)와 (x,y,z,9시52분) - 간의 거리를 피타고라스 정리를 이용하여 구하였을 때 0이 되면 동시가 된다고 이야기했단다.
두 점 간의 거리를 구할 때 피타고라스 정리를 이용하는 것을 기억하니?
[그림] 원점 (0,0)과 점 (x,y) 간의 거리 L= √x²+y²
예를 들어 2차원 공간에서, 원점 (0,0)과 점 (x,y) 간의 거리 L은 피타고라스의 정리에 따르면,
L = √(x-0)²+(y-0)² = √x²+y²
이 되지. 만약 4차원 공간이라면, 원점 (0,0,0,0)과 점 (x,y,z,t) 간의 거리 L은
L = √x²+y²+z²+t²
이 되겠지. 그런데, 거리 x,y,z의 단위(cm, m, km)와 시간 t의 단위(시, 분, 초)는 다르기 때문에 단위를 통일해야 하겠지. 예를 들어, 한국돈 1원과 미국돈 1달러 합하려면, 먼저 달러를 원화로 환산을 해야하겠지. 그리고 달러를 원화로 환산하려면, 달러에 환율을 곱하면 되지. 그럼, 시간을 거리로 환산하려면, 환율(환산하기 위한 비율)은 얼마나 될까?
민코프스키는, 위의 예에서 (2)와 (3)을 동시에 일어난 사건으로 간주하여. (0,0,0,10시)와 (x,y,z,9시52분)의 거리가 0이 되도록, 시간을 거리로 환산하였단다. 즉, 허수 i(제곱하면 -1이 되는 수)와 광속 c를 곱한 ic를 환율로 사용하여, 다음과 같이 4차원 거리를 구하는 공식을 만들었단다.
L = √x²+y²+z²+(ict)² = √x²+y²+z²-(ct)²
이 식을 보면, 3차원 공간 상에서 두 점 간의 거리(√x²+y²+z²)와 빛이 t초 동안 가는 거리(√(ct)² = ct)가 같으면 두 점 간의 거리는 0이 된단다.
예를 들어, (2)와 (3) 사이에는 8분 간의 시간 차이가 있는데, 태양에서 지구까지 거리(√x²+y²+z²)와 빛이 8분 동안 가는 거리(√(ct)² = ct)가 같으면, 거리 L은 0이 되고, 따라서 두 사건은 동시라는 것이야.
[그림] 태양에서 지구까지 거리(√x²+y²+z²)와 빛이 8분 동안 가는 거리(ct)가 같으면, 두 사건 간의 4차원 거리는 0이 되고, 따라서 두 사건은 동시가 된단다.
이해를 돕기 위해, 예를 하나 더 들어보자.
북극성은 지구에서 1000광년 떨어져 있단다. 1광년은 빛이 1년 동안 가는 거리를 말하니까, 지구에서 북극성까지 빛이 가려면 1000년이 걸리겠지.
[그림] 2010년의 지구 모습을 북극성에서는 1000년이 지난 3010년에 관찰
북극성에서 누군가가 2010년 지구의 모습을 망원경으로 본다면, 북극성에서는 3010년에 볼 수 있겠지. 그렇다면, 2010년의 지구(0,0,0,2010년)와 3010년의 북극성(x,y,z,3010년)과의 4차원 거리는 0, 즉 동시라는 뜻이 되지.
만약 네가 북극성까지 순간적으로 이동할 수 있다면, 1000년 전 지구 모습을 볼 수 있다는 이야기가 되지. 하지만, 광속으로 가더라도 1000년이 걸리는 곳을 순간적으로 갈 수는 없단다. 상대성이론에 따르면 빛보다 빨리 갈 수 없기 때문이지. 상대성이론에서, 빛보다 빨리 갈 수 있다면 과거로 갈 수 있다고 했는데, 빛보다 빨리 갈 수 있다면 과거를 볼 수 있다는 이야기도 되지.
또 만약 네가 움직이지 않고 제 자리에 있다고 해도, 4차원 공간에서는, 시간의 흐름에 따라 점차 원래의 자리에서 거리가 멀어지고 있단다. 예를 들어, (0,0,0,2010년)에서 (0,0,0,2011년) 사이의 거리는 빛이 1년간 지나가는 거리만큼 떨어져 있단다.
공간과 시간으로 이루어진 이런 4차원 공간을 시공간(spacetime)이라 부르는데, 일명 민코프스키 공간이라고도 한단다. 민코프스키와 4차원 시공간의 이야기는 일반상대성이론에서 다시 등장하니까, 네가 잊지 않았으면 좋겠구나.
PS) 민코프스키는 4차원 시공간을 평면상에 표시하여 특수상대성이론을 설명하였단다. 앞에서 나왔던 동시성의 문제나 움직이는 물체의 시간이 늘어나고 길이가 짧아지는 이유를, 수식이 없이 그림만으로 설명하였단다. 만약 공식이나 수식이 없이 그림으로만 특수상대성이론을 이해하고 싶다면, 이 글의 부록에 있는 '민코프스키의 세계선'을 꼭 읽어 보길 바란다.
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