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상대성이론

4-6. 휘어진 공간과 비유클리드 기하학

고대 4대 문명의 발상지인 이집트의 나일강 주변은 매년 홍수가 났단다. 고대 중국의 황하강 주변에도 홍수가 항상 있었는데 중국 사람들은 홍수를 재앙이라고 생각했지만, 이집트 사람들을 나일강의 선물이라고 생각했단다. 강물에 실려온 기름진 흙이 쌓여서 농사가 잘 되었기 때문이지. 홍수가 지나가면 흙이 쌓여 땅의 경계를 알 수 없었기 때문에, 땅을 다시 측량하여 원래 주인에게 되돌려 주었단다. 따라서 이집트에서는 측량술이 많이 발달하였단다.

이집트와 지중해를 사이에 두고 있는 고대 그리스는 이집트 문명을 받아들이면서, 측량술도 받아들였단다. 그리스에서는 이러한 측량술이 유클리드(Euclid, 기원전 330~275년)와 같은 수학자에 의해서 도형을 다루는 학문인 기하학으로 발전하였단다.(유클리드는 이집트의 지중해 연안에 위치하는 알렉산드리아에서 주로 활동하였는데, 당시 왕이었던 프톨레마이어스가 쉽게 공부할 수 있는 방법을 물었을 때, "공부에는 왕도가 없습니다."는 이야기를 한 사람이란다.)

네가 학교에서 배운 기하(幾何)라는 말은 영어 지오메트리(geometry)의 지오(geo)를 소리 나는 대로 적은 한자어란다. 지오메트리(geometry)는 그리스어 지오(geo: 땅)와 메트리아(metria: 측량)이 합쳐진 글로, '땅을 측량하다'는 뜻이란다. 이런 이유로 네가 학교에서 배우는 기하학을 유클리드 기하학이라고 부른단다.

그가 만든 《기하학 원론》이란 책에는 네가 초등학교나 중학교 때 배운 다음과 같은 이야기들이 나온단다.

- 삼각형 내각의 합은 180도이다.
- 직선 위에 있지 않는 한 점을 지나면서 그 직선에 평행인 직선은 단 1개이다.

아마도 너는 이런 이야기가 진리라고 생각하고 있겠지. 하지만 아인슈타인의 일반상대성이론이 나온 이후, 우리가 사는 우주 공간에서는 더 이상 진리가 아니란다. 왜냐하면 유클리드가 상상하는 그런 공간이 이 우주에는 존재하지 않기 때문이지.

아인슈타인은 일반상대성이론에서 중력을 받는 시공간은 휘어진다고 이야기했지. 그렇다면 우주 공간 전체는 휘어져 있단다. 왜냐하면, 뉴턴의 만유인력법식에 따르면 '중력의 크기는 거리의 제곱에 반비례한다'고 하는데, 거리가 무한대에 가까워지면, 중력은 0에 가까워질 뿐 0이 되지는 않기 때문이지. 즉, 중력의 영향은 우주 끝까지 미치기 때문이지. 보통 우리는 우주공간이 무중력 상태라고 생각하지만, 사실은 중력이 아주 작은 상태일 뿐 완전한 무중력 상태의 공간은 어디에도 존재하지 않는단다. 그렇다면 중력의 영향권 내에 있는 우주 전체가 휘어진 4차원 시공간이라고 할 수 있지.

휘어진 4차원 시공간은 수식으로만 표현이 가능하지만 눈으로 볼 수는 없단다. 만약 4차원 대신, 2차원으로 표현하자면 지구의 표면과 같다고 할 수 있지. 그럼 휘어진 2차원 공간에서 유클리드 기하학이 왜 더 이상 성립하지 않는지에 대해 살펴보자.

1983년 9월 1일 미국 뉴욕 공항을 출발한 대한항공 007편은 서울로 오던 도중, 소련(구 러시아) 전투기의 공격을 받아 사할린 섬 서쪽에 추락했단다. 이 사고로 미국 하원을 포함한 승객 269명이 모두 사망하였단다. 당시에 이 끔찍한 사고에 대해 온 나라가 시끄러웠는데, 많은 사람들이 의문을 가지는 것이 하나 있었단다. 아래의 그림은 우리가 평소에 보는 세계지도란다.

[그림] 대한항공 007편의 항로(뉴욕-앵커리지-서울)

당시 비행기가 뉴욕에서 서울로 올 때, 태평양을 건너오지 않고, 북쪽 알래스카에 있는 앵커리지 공항을 경유하여 왔단다. 지도를 보면, 직선으로 바로 오지 않고, 멀리 돌아오고 있지. 1983년 당시는 냉전 체제로, 우리나라와 공산주의 국가였던 소련은 서로 적국이었지. 그렇다면 왜 일부러 멀리 돌아서 위험한 소련 옆을 지나가려고 했을까? 만약 중간에 주유소(?)에 들러 기름을 넣어야 한다면 태평양 한가운데에 있는 하와이를 들러서 올 수도 있는데... 당시 대한항공 007편이 미국 CIA에서 조종을 받아 고의로 소련 영공 옆을 지나가면서 소련 영토를 촬영하려고 했다는 루머도 떠돌았단다. 과연 정말로 그랬을까?

위의 질문에 대한 대답은 2차원 지도 대신 3차원으로 된 지구본만 있으면 바로 알 수 있단다. 지구본 위에서 실을 양손으로 잡고 서울과 뉴욕 사이를 이어 팽팽하게 당겨 보면, 가장 짧은 경로가 태평양을 지나는 것이 아니라 북쪽의 알래스카를 지나는 것을 바로 알 수 있지.

직선이 '두 점 간을 잇는 가장 짧은 경로이다'는 말을 빌리면, 뉴욕에서 태평양을 지나 서울로 가는 길이 직선이 아니라, 뉴욕에서 앵커리지를 지나 서울로 가는 길이 직선이지. 즉 우리 눈에 직선처럼 보이는 뉴욕-태평양-서울 노선이 곡선처럼 보이는 뉴욕-앵커리지-서울 노선보다 거리가 더 길다는 이야기지.

이와 같이 평면에 있는 지도가 휘어져 있는 2차원 곡면(지구본)으로 바뀌면 우리가 일반적으로 생각하는 것과는 다른 현상이 생기지. 더 나아가 휘어진 공간에서는 우리가 지금까지 진리라고 믿고 있었던 유클리드 기하학이 모두 틀렸다는 것을 알게 될 거야.

하지만, 휘어진 4차원 시공간은 이해하기 힘드니까, 지구 표면과 같이 휘어진 2차원 평면 위에서는 일어나는 몇 가지 사실들을 확인해보자. 여기에서, '지구 표면과 같이 휘어진 2차원 평면'이란 지구 안 쪽이나 지구 바깥 쪽(대기권)은 존재하지 않고, 지구 표면만 존재하는 세계를 말한단다.

먼저 '휘어진 2차원 공간(지구 표면)에서 두 점을 잇는 직선은 몇 개일까?'라는 질문에 대해 답해 보자.
지금까지 우리가 알고 있는 답은 하나였지. 하지만 지구본에서 북극과 남극을 잇는 직선이 몇 개인가 생각해보자. 직선의 정의가 '두 점 간을 잇는 가장 짧은 경로이다'는 말을 되새기면, 북극에서 남극으로 가는 직선(경선)의 수는 무한대가 되겠지. 북극에서는 어떤 방향으로 가더라도 남쪽이 되고, 남쪽으로 똑바로 가면 남극에 도달하겠지. 즉 '두 점을 잇는 직선의 개수는 여러 개가 있다'가 되지.

[그림] 지구의 경선과 위선

다음으로, 북극을 중심으로 하는 원을 한 번 그려보자. 원이란 정의는 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임이라는 것은 배웠겠지. 아래의 그림을 보면 북극을 중심으로 하는 원(위선)들이 여러 개 있지.

[그림] 북극을 중심으로 하는 원들.

그림에서 원의 반지름 OA, OB, OC가 네 눈에는 모두 곡선으로 보이겠지만, 휘어진 2차원 공간에서는 직선이란다. 직선의 정의가 '두 점 간을 잇는 가장 짧은 경로이다'는 것을 다시 한번 상기하렴. 그림에 나오는 원들 중에, 세 번째 그림에 있는 원(적도)을 보면 지름의 길이(선분 OC의 2배)가 원 둘레의 절반이 되겠지.

만약 지구가 럭비공처럼 위아래로 길쭉하다면, 원둘레는 그대로 인데 지름이 점점 길어지겠지. 럭비공이 더 길어져 오이 모양이 되면 지름의 길이가 원둘레 보다 긴 모양이 나오겠지. 원의 지름이 원 둘레보다 긴 원은 지금까지 너는 상상도 하지 못했을 거야.

[그림] 구형과 럭비공 모양의 지름과 원둘레

다음으로 '직선의 길이는 무한하다'는 이야기도 한번 살펴보자.
네가 지구의 아무 위치에 서서 똑 바로 앞으로 나아가면 결국 제자리에 돌아오겠지. 예를 들어 적도에 위치하는 싱가포르에서 적도를 따라 돌면 결국 싱가포르로 돌아 오겠지. 이렇게 보면 '직선의 길이는 유한하다'가 되지.

직선뿐만 아니라 평면도 마찬가지야. 지구 표면처럼 휘어진 면이라면 전체 면적은 유한한 것이 되겠지. 마찬가지로 휘어져 있는 3차원 공간이라면 부피가 유한하겠지.

이런 휘어진 면에서는 삼각형 내각의 합이 180도가 되기란 거의 불가능하단다. 왜 그런지 지구본을 다시 한번 보자꾸나.

[그림] 지구 표면에서 삼각형 내각의 합

위의 그림과 같이 지구를 똑같이 8등분을 한 후, 각각의 가장자리 선을 살펴보자. 3개의 직선(네 눈에는 곡선으로 보이겠지. 하지만 휘어진 면에서는 직선이란다)이 삼각형을 이루고 있지. 이때 삼각형 모서리의 각도를 보면 모두 직각(90도)를 이루고 있지. 그러면 이 삼각형의 내각의 함은 90도 X 3 = 270도가 되지. 지구 표면에서는 아무리 삼각형을 만들어도 180도가 되는 곳은 없단다.

하지만, 아래의 그림과 같은 곡면 - 말 안장처럼 생겼다고 해서 안장형 곡면(saddle surface)이라고 부르지 - 에서는 삼각형의 내각의 합은 항상 180도 보다 적단다.

[그림] 안장형 곡면

'직선 밖의 한 점을 지나면서, 그 직선에 평행인 직선은 단 1개 존재한다'는 유클리드의 평행선 공리도 휘어진 곡면에서는 성립하지 않는단다.

[그림] 지구의 경선들은 적도에서는 서로 평행하지만, 북극과 남극에서는 만난단다.

평행선이란 정의가 '무한히 가도 만나지 않는 두 직선'을 말하는데, 위의 지구 그림을 보면, 북극과 남극을 잇는 하나의 경선과 다른 경선들과는 적도에서는 서로 평행이지만 북극과 남극에서 만나게 되지. 따라서, 구면에서는 ‘직선 밖의 한 점을 지나면서, 그 직선에 평행인 직선은 존재하지 않는단다.’

하지만 안장형 곡면에서는 '직선 밖의 한 점을 지나면서, 그 직선에 평행인 직선은 2개 이상 존재한단다.'

[그림] 안장형 곡면에서는 직선 밖의 한 점을 지나면서, 그 직선에 평행인 직선은 2개 이상 존재한단다.

지금까지 우리가 알아낸 이야기를 조금 정리해보자.

- 두 점을 지나는 직선은 여러 개다.
- 원의 지름은 원의 둘레보다 길다.
- 직선의 길이는 유한하다.
- 삼각형 내각의 합은 180보다 크거나 작다.
- 직선 위에 있지 않는 한 점을 지나면서 그 직선에 평행인 직선은 없거나 여러 개이다

이상은 모두 휘어진 2차원 공간에서 일어나는 일이지. 이외에도 많은 예가 있지만, 이쯤 하도록 하자.

이와 같이 지금까지 우리가 알고 있는 상식으로는 말도 되지 않는 기하학을 비유클리드 기하학이라고 부르는데, 비유클리드 기하학이란 말은 바로 역사상 가장 위대한 수학자인 가우스(Gauss, 1777~1855년)가 붙인 이름이란다.

이런 비유클리드 기하학은 아인슈타인이 상대성원리를 만들기 이전부터 나왔고, 아인슈타인이 일반상대성이론을 만드는데 기초가 되었단다. 아인슈타인은 이런 말을 했지.

"만일 내가 그 기하학(비유클리드 기하학)을 몰랐다면 나는 결코 상대성이론을 만들어 낼 수 없었던 것이다."

하지만 비유클리드 기하학이 처음 나올 당시에는 완전 무시당했지.

비유클리드 기하학의 창시자 중 한 명이라 할 수 있는 러시아의 수학자인 로바체프스키(Lobachevskii, 1792~1856)는 23세에 대학 교수를 할 정도 수학에 뛰어난 인물이었지. 그가 1826년 카잔 수학-물리학 협회에서 처음으로 비유클리드 기하학에 대해 발표하려고 할 때 많은 사람들이 숨을 죽이고 듣고 있었단다. 하지만 그가

"직선 위에 있지 않는 한 점을 지나면서 그 직선에 평행인 직선은 2개 이상 존재한다."

고 이야기했을 때 참석했던 모든 사람들이 웃었단다.

로바체프스키와 마찬가지로 비유클리드 기하학을 연구했던 헝가리의 수학자 보여이(Bolyai, 1802~1860년)는 자신이 발견한 것을, 아버지의 친구이자 비유클리드 기하학이란 이름을 만든 가우스에게 편지로 보냈단다. 하지만, 가우스는 "자신도 이미 알고 있는데 세상의 평가가 시끄러워질 것 같아 발표하지 않았다."는 답장이 돌아와 몹시 실망하였단다. 실제로 가우스는 비유클리드 기하학을 연구했으나, 당시 함께 독일에 살았던 역사상 가장 위대한 철학자인 칸트(Kant, 1724~1804년)에게 비판 받을까 봐 전혀 이야기하지 않았지.

칸트는, 앞에서도 이야기했듯이, 선천적인 순수이성만으로 만든 지식은 진리이며, 수학이 바로 그런 지식이라고 이야기했지. 예를 들어 유클리드의 평행선 공리는 절대 진리라는 것이지. 물론 지금도 대부분의 사람들은 그렇게 믿고 있지. 하지만 아인슈타인 일반상대성이론을 따르면 더 이상 칸트의 이야기는 사실이 아니지. 지름보다 원이 둘레가 더 짧은 원이 실제로 존재하지만, 우리의 순수이성으로는 이해할 수 없지.

로바체프스키는 "인식은 지각을 통해 획득되는 것이며, 의식에 선천적으로 부여된 무엇인가의 작용에 의한 것이 아니다."고 이야기했지. 그는 아인슈타인이 일반상대성이론이 나오기 전에 이미 인간의 순수이성이란 허구라는 것을 알고 있었지.

비유클리드 기하학에서 가장 많은 업적을 남긴 사람은 독일의 수학자 리만(Riemann, 1826~ 1866년)이란다. 아인슈타인은 리만 기하학을 일반상대성이론에서 이용하였지. 리만은 가우스의 제자로, 가우스가 교수로 있던 독일 쾨팅겐 대학에서 수학 강사로 들어갔지. 리만은 비유클리드 기하학에 대해 강의를 했지만, 가우스는 모르는 척했단다 .

비유클리드 기하학이 나온 지 약 60년 뒤, 역사상 가장 위대한 물리학자인 아인슈타인은 우주가 평편하지 않고 중력에 의해서 휘어져 있음을 비유클리드 기하학에 나오는 수식으로 표현하였지.(이 글에서 수학, 철학, 물리학에서 역사상 가장 위대한 업적을 세운 사람들이 모두 등장하는구나. 하지만 우연의 일치라고 보기에는 어렵겠지?) 아인슈타인으로 인해 이제, 비웃음을 당하던 비유클리드 기하학 시대가 온 것이지.

아인슈타인의 상대성이론은 이와 같이 기존의 물리학뿐만 아니라 수학과 철학에도 큰 영향을 주었어. 더 정확하게 이야기 한다면, 영향을 주었다가 아니라 완전히 뒤집어 놓았지.

마지막으로 덧붙이고 싶은 말은, 만약 유클리드가 어린왕자가 살았던 아주 작은 별에 태어났더라면, 유클리드 기하학보다는 비유클리드 기하학이 먼저 탄생되었을 것이 분명하겠지.

PS) 위에서 이야기한 비유클리드 기하학은 크게 두 가지로 나눌 수 있단다.
하나는 가우스, 로바체프스키, 보여이 등이 주장한 쌍곡선 기하학이고, 다른 하나는 리먼이 주장한 타원 기하학이란다.

쌍곡선 기하학(hyperbolic geometry)은 안장형 곡면에서 성립하는 기하학으로, 이런 곡면에서는 원(한 점을 중심으로 같은 거리에 있는 점들의 집합)을 그리면 원의 면적이 πr² 보다 크고, 원의 둘레도 2πr보다 크지. 안장형 곡면을 만들려면, 비닐을 가위로 잘라 원을 만든 후, 원의 가장자리를 손으로 잡아 당겨 늘이면 되지. 수학에서는 이런 곡면은 음(-)의 곡률을 가지고 있다고 한단다.

타원 기하학(elliptical geometry)은 지구와 같은 구형이나 럭비공 같은 타원체 표면에서 성립하는 기하학으로, 이런 곡면에서는 원을 그리면 원의 면적이 πr² 보다 작고, 원의 둘레도 2πr보다 작지. 수학에서는 이런 곡면은 양(+)의 곡률을 가지고 있다고 한단다.

쌍곡선 기하학을 만든 리먼은 2차원 면에서 그치지 않고, 3차원 공간, 4차원 공간 등 고차원 공간으로 확장하였단다. 더욱이 리먼은 곡률이 계속 변하는 공간의 가능성에 대해서도 생각을 하였단다. 이런 결과물을 바탕으로, 아인슈타인이 '질량으로 인해 4차원 시공간이 휘어진다'는 일반상대성이론을 완성할 수 있었지.

이현승
(neo2e)

시간의 역사라는 책이 조금 이해가 되는 대목이군요.
(2017-05-06 오후 12:11:07)