특수상대성이론의 결론을 다시 한번 꺼내보자.
"움직이는 물체에서는 (1)시간이 느리게 가고, (2)길이는 짧아지며, (3)질량이 증가한다."
이제 두 관문을 통과하였고, 마지막으로 질량이 증가하는 이유를 설명해보자.
먼저 뉴턴이 만든, 앞에서 이미 설명을 했던, 그리고 운동학 역사상 가장 유명한 공식 하나를 살펴보자.
F = ma
잘 알다시피 이 공식은 힘과 가속도의 공식이다. 즉 질량이 m인 물체를 a만큼 가속하려면 힘 F가 필요하다는 이야기인 동시에, 가속되는 양은 힘과 비례한다는 이야기지.
예를 들어, 자동차를 시속 1km로 가속시키려면 휘발유 1리터가 필요하다고 가정해보자. 자동차를 시속 2km로 가속시키려면 휘발유 2리터가 필요하겠지. 만약 이 자동차를 시속 50km로 가속시키려면 50리터의 휘발유가 필요하겠지. F = ma라는 공식의 의미는 결국 자동차를 가속시키려면 휘발유(휘발유가 가진 에너지가 엔진 속에서 힘으로 변하니까)가 가속도에 비례하여 많이 필요하다는 이야기지.
[그림] 휘발유 1리터로 자동차를 시속 1km로 가속한다면, 휘발유 50리터로 시속 50km로 가속할 수 있다.
그렇다면 이번에는 속도를 좀 올려서 이야기해 보자.
우주선을 초속 1만km로 가속시키려면 핵연료 1만 톤이 필요하다고 가정해보자. 우주선을 2만km로 가속시키려면 핵연료 2만 톤이 필요하겠지. 그렇다면 우주선에 핵연료 50만 톤이 있다면, 초속 몇 만km까지 가속할 수 있을까?
[그림] 핵연료 1만 톤으로 우주선을 초속 1만km로 가속한다면, 핵연료 50만 톤으로 초속 몇 만km로 가속할 수 있을까?
만약 뉴턴이 살아 있었다면 분명 초속 50만km로 갈 수 있다고 이야기하겠지. 하지만 아인슈타인의 상대성이론에 따르면 우주선이 아무리 빠르게 달린다고 해도 빛의 속도인 초속 30만 km를 넘을 수 없다고 앞의 글에서 이야기하지 않았니? 그렇다면 우주선이 초속 50만km로 갈 수는 없겠지.
지금까지 우리는 뉴턴의 공식(F = ma)에서 힘 F를 증가시키면 가속도 a가 증가한다고 학교에서 배웠지. 하지만 광속에 가까워질수록 아무리 힘을 가해도 속도는 거의 증가하지 않는단다. 빛의 속도보다 더 빨리 갈 수 없으니까. 그렇다면 이상하지 않니? 속도가 증가하지 않는다면, 그렇게 많이 가한 힘은 다 어디로 간 것일까?
학교 물리 시간에, '에너지는 형태만 바뀔 뿐 절대로 사라지지 않는다'는 에너지 보존의 법칙을 배웠겠지. 자동차 엔진에서 휘발유(화학 에너지)를 태우면, 자동차가 가속되어 운동 에너지로 바뀌게 되고, 브레이크를 밟으면 자동차가 정지하면서 운동에너지는 사라지지만, 브레이크와 바퀴에 열이 나면서 열 에너지로 바뀌게 되지.
즉 에너지는, 형태가 계속 변할 뿐, 절대 사라지지는 않는다는 것이 에너지 보존의 법칙이지. 위의 경우 핵연료로 우주선을 가속하면, 우주선의 속도가 증가하면서 핵연료(핵 에너지)가 운동에너지로 바뀌어야 함에도 불구하고, 속도가 증가하지 않는다면 그 에너지는 어디로 갔을까?
아인슈타인은 여기에서 또 다시 우리가 상상도 할 수 없는 이야기를 한단다.
"F = ma에서, 힘 F를 증가 시키는데도 가속도 a가 증가하지 않는다면 질량 m이 증가해야 한다."
사실 질량도 변할 수 있다는 생각은 아인슈타인이 처음 한 것은 아니란다. 옛 사람들은 나무나 석탄을 태우면 재만 남는 것을 보면서 질량은 변하는 것이라고 생각했었지. 하지만, 1774년 프랑스의 화학자 라부아지에(Lavoisier)가 나무나 석탄을 태울 때 생기는 연기와 재의 무게를 모두 합치면 타기 전의 질량과 같다고 주장하면서, '질량은 어떤 경우에도 절대로 변하지 않는다'는 질량 보존의 법칙을 만들었지.
[그림] 질량보존의 법칙을 발견한 라부아지에의 실험 장면
아인슈타인이 나오기 전에는 뉴턴의 '힘과 가속도의 공식'이나 라부아지에의 '질량 보존의 법칙'은 절대적인 진리로 받아들여졌단다. 아인슈타인이 상대성이론은 만든 지 100년이 다되어 가는데도 불구하고 네가 배우는 학교 교과서에는 아직도 이 공식을 배우고 있잖니. 그럼에도 불구하고 아인슈타인은 이 두 가지 진리를 더 이상 맞지 않는 진리로 전락시켜버렸어.
나는 상대성이론을 볼 때 마다 '절대 진리를 만들 수 있는 인간의 이성이란 과연 존재하기나 하는 것일까?'라는 생각에 빠져든단다. 그리고, 아인슈타인이 뉴턴이나 라부아지에를 뛰어 넘었듯이, 또 나중에는 아인슈타인을 뛰어넘을 사람이 나올 수도 있다는 사실을 명심해라.
이야기가 약간 벗어났구나. 다시 질량 증가 이야기로 돌아와 보자. 질량의 증가가 맞느냐 틀리냐를 입증할 수 있는 가장 좋은 방법은 실험을 해보는 거겠지. 실제로 입자가속기에서 입자를 가속해보면 빛의 속도에 가까이 갈수록 가속되는 양이 점차 줄어들고 아무리 에너지를 추가해도 빛의 속도에는 절대로 도달할 수 없단다. 그리고 질량 증가 현상은 현실에 존재하는 사실이란다.
내가 앞에서 다음과 같은 이야기를 한 것을 기억하니?
"사실을 사실로 받아들이지 않는다고? 그런 바보 같은 사람이 어디 있어?"
아마도 광속에 가까운 속도로 날아가는 뮤온의 수명이 길어지고, 질량이 증가하는 것을 못 받아 들인다면, 네가 바로 그 바보 같은 사람이란다. 왜냐하면, CERN과 같이 입자가속기를 가진 연구소에서 일하는 사람들은 날마다 이런 현상을 보고 있단다. 당연히 이런 현상을 전혀 이상하게 생각하지 않고 사실로 받아들인단다. 흡사 우주 정거장에서 매일 지구를 내려다 보는 사람이 지구가 둥글다는 사실을 전혀 이상하게 받아들이지 않는 것처럼 말이야.
이제 질량 증가에 대한 공식을 유도하는 과정을 생략하고 공식만 써 보기로 하자.
아마도 이 공식은 이제 너에게 익숙한 모습이지. 시간 지연이나 길이 단축에 관한 공식과 비슷하지 않니?
만약 질량 1kg인 물체를 광속에 가까운 속도로 가속하면 다음과 같이 질량이 증가한단다.
0.1 c = 1.005
0.5 c = 1.155
0.9 c = 2.294
0.99 c = 7.089
0.999 c = 22.366
0.9999 c = 70.712
0.99999 c = 223.607
0.999999 c = 707.107
0.9999999 c = 2236.068
0.99999999 c = 7071.068
[표] 질량 1kg인 물체가 속도에 따른 질량의 변화
위의 표를 보면, 지구 공전속도보다 1000배 정도 빠른 광속의 0.1배 정도면 질량이 1.005배로 늘어난단다. 광속의 0.1배에서 이 정도라면, 이 속도보다 10만 배나 느리게 가는 비행기의 늘어나는 질량은 거의 0이 되지.
위의 식에서 v가 c에 비해 작은 경우, 루트(√) 안의 값은 1이 되고, 결국
m′ = m
이 되겠지. 따라서 우리가 사는 일상생활에서는 질량의 증가를 전혀 느낄 수가 없단다.
광속의 절반이면 1.15배, 광속의 0.9배(90%) 정도가 되면 비로소 2.3배 증가하지. 그리고 광속과 거의 같은 속도인 0.99배(99%)가 되면 질량은 7배 가량 증가한단다. 이후 질량은 급속하게 증가하게 되는데, 속도에 따른 질량의 증가를 그래프로 그리면 다음과 같단다.
[그림] 속도와 시간 간의 관계. x축의 값은 [속도/광속]이고, y축의 값은 [움직이는 물체의 질량/정지한 물체의 질량](########### y좌표의 설명을 바꾸어야 함 ################)
속도가 광속에 가까워지면, 질량은 무한대에 가까워지는 것을 알 수 있지. 즉 엄청나게 질량이 증가하지.
그러면 빛과 같은 속도로 달리면 질량은 얼마가 될까?
위의 공식에 속도 v대신 광속 c를 대입해보면 질량 m′는 무한대가 된단다. 이것은 위의 우주선의 이야기에서 이미 예견된 이야기이지. 우주선에서 힘을 아무리 주더라도 속도는 절대로 광속을 초과할 수 없기 때문이지. 즉 광속에 가까워질수록 힘을 주더라도 속도가 거의 늘어나지 않는 대신 힘의 양 만큼 질량이 늘어나지. 결국 광속에 도달하려면, 질량이 무한대로 늘어나야 한다는 이야기야.
이 이야기를 바꾸어 보면, 힘을 무한대로 주어야 광속에 도달한다는 이야기이고, 현실에서는 무한대의 힘이 존재하지 않기 때문에 질량이 있는 물체는 절대로 광속에 도달할 수 없다는 이야기가 되지. 앞에서 빛의 속도보다 빨리 갈 수 있으면 과거로 돌아갈 수 있다고 했는데, 절대로 광속에 도달할 수 없다면 과거로 갈 수도 없겠지.
PS) 이야기를 악간 옆으로 돌려서, 질문을 하나 해볼게.
"우주선을 타고 250만 광년이 떨어진 안드로메다 은하에 인간이 과연 갈 수 있을까?"
안드로메다 은하까지는 빛의 속도로 가더라도 250만년이 걸리니까, 앞으로 아무리 문명이 발달 되더라도 안드로메다 은하에 인간이 가는 것은 영원히 불가능하다고 할 수 있겠지.
하지만, 아인슈타인의 상대성이론을 적용해 보면 이야기가 달라진단다.
먼저 앞에서 본 CERN 입자가속기에서 만들어진 뮤온의 이야기를 떠올려 보자. 빛의 속도에 99.94%로 가속된 뮤온의 수명이 30배(정확히는 28.9배)가 늘어났지. 이때 시간만 늘어나는 것이 아니라 뮤온이 가는 거리도 수축되지. 즉 뮤온이 실제 간 거리는 뮤온의 입장에서는 1/30로 수축되지.
만약 인간이 빛의 속도의 99.94%로 갈 수 있는 우주선을 개발한다면, 우주선을 탄 사람의 입장에서는 지구에서 안드로메다 은하까지 거리가 1/30로 수축되겠지. 따라서 빛의 속도의 99.94%로 갈 수 있다면 250만 광년의 거리는 1/30로 줄어든 8만3천 광년으로 짧아지겠지.
다시 우주선의 속도를 올려, 이번에는 빛의 속도의 99.9999999999995%로 간다면, 거리는 백만 분의 1로 수축된단다. 즉 250만 광년의 거리는 2.5광년으로 짧아지지. 그렇다면 2년 반 정도면 안드로메다 은하에 도착할 수 있을 거야.
하지만 이때에도 문제가 있단다. 거리는 짧아지지만, 우주선의 질량은 같은 비율로 늘어나기 때문이지. 이 경우, 우주선이 날아갈 거리는 백 만 분의 1로 줄어들지만, 우주선의 무게는 1백만 배가 증가한단다. 이렇게 무거운 우주선을 가속하려면 엄청난 에너지가 필요하겠지. 우주선의 무게가 100만 배가 증가한다면 연료를 얼마나 채워야 할까? 그리고 싣고 갈 연료가 늘어나는 만큼 그 연료 무게도 100만 배가 또 증가하겠지. 결론적으로 안드로메다는 아인슈타인 상대성이론을 적용한다고 해도 일반적인 우주선으로는 갈 수가 없단다.
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