박홍균의 원리한자 / 포켓속의 미국 / 상대성이론

상대성이론

3-8. 우주에서 가장 빠른 속도는 광속이다.

아인슈타인의 특수상대성이론 중 마지막 관문인 질량의 증가에 대한 이야기를 하기 전에, '어떤 물체이든 광속보다 더 빠르게 갈 수 없다'는 사실에 대해 먼저 이야기해보려고 한다. 왜냐하면, 질량의 증가는 이 이야기와 밀접하게 관련이 있기 때문이란다.

다시 한번 사고 실험을 해보자.
기차가 시속 30km로 달리고 있다. 이 기차 안에서 동수가 시속 20km로 기차 앞쪽으로 달려가고 있다. 기차 밖에서 서 있는 정수가 보면 동수는 시속 몇 km로 움직일까?

[그림] 시속 30km로 달리는 기차 안에서 시속 20km로 기차 앞쪽으로 달려가는 동수

아마도 갈릴레이나 뉴턴은 두 속도(시속 30km와 시속 20km)을 합한 시속 50km로 움직인다고 이야기하겠지. 그리고 너도 같은 의견일거야. 이런 경우, 첫 번째(기차) 속도를 v1이라 하고, 두 번째(동수) 속도를 v2라 하면 정수가 보는 속도 v는

v = v1 + v2

와 같이 공식으로 표현할 수 있겠지. 사실 이 공식은 갈릴레이가 만든 속도 덧셈의 법칙에 나오는 공식이지.

그렇다면 이번에는 속도를 좀 올려서 이야기해 보자.

안드로메다 은하로 가는 기차 은하철도 999호가 초속 30만km로 달리고 있다. 이 기차 안에서 동수가 초속 20만km로 앞쪽으로 달려가고 있다. 기차 밖의 지구에 서있는 정수가 보면 동수는 초속 몇 만km로 움직일까?

[그림] 초속 30만km로 달리는 기차 안에서 초속 20만km로 기차 앞쪽으로 달려가는 동수

아마도 갈릴레이나 뉴턴이 이 문제를 푼다면 당연히 초속 50만km 라고 이야기하겠지. 하지만 그렇지 않단다.

지구에 서있는 정수가 기차를 보면 초속 30만km로 달리고 있기 때문에 기차의 길이는 0이 되겠지. 길이가 0인 곳 안에서 동수가 초속 10만km로 달려가나 초속 20만 km로 달려가나, 정수가 볼 때에는 그 자리에 서 있는(속도가 0km/초) 모습으로 밖에 안보이겠지. 따라서 정수가 볼 때 기차의 속도 30만km/초에 동수의 속도 0km/초를 합치면 30만 km/초가 되지.

이야기가 바로 결론에 갔는데, 조금 뒤로 돌아와 보자.
만약 기차가 초속 29만9999km로 달린다고 상상해보자. 이 경우에도 기차의 속도는 광속에 가깝기 때문에 기차의 길이는 짧아져 1/100 밀리미터 정도가 되겠지. 따라서 그 1/100 밀리미터 밖에 되지 않는 기차 속에서 아무리 빨리 달려봐야 정수의 눈에는 동수가 기차 안에서 거의 정지하고 있는 것으로 보이겠지.

[그림] 기차가 초속 29만9999km로 달리면, 기차의 길이는 아주 짧아져 1/100 밀리미터 정도가 된단다.

즉, 기차가 빠르게 갈수록 기차 길이는 짧아져서, 기차 안에 있는 동수가 아무리 빨리 뛰어 봐야 속도가 별로 늘어나지 않는다는 것이야. 결국 동수는 기차 안에서 아무리 빨리 뛰어봐야 정수가 볼 때 빛의 속도인 30만 km/초를 넘어서지 못하는 것이지.

물론 이 경우에도 공식을 만들 수 있단다. 하지만 공식을 만드는 과정은 복잡하니 생략하고, 아인슈타인이 만든 속도 덧셈의 공식을 써보도록 하자.

먼저, 이 공식에서 속도 v1과 v2가 광속 c에 비해 아주 작다면 분모가 거의 1이 되므로, v = v1 + v2 가 되어 갈릴레이가 만든 속도 덧셈 공식과 같아진단다. 우리가 일반적으로 사는 세상에는 갈릴레이가 만든 공식만 알더라도 살아가는데 전혀 지장이 없다는 이야기지.

하지만 움직이는 속도가 광속에 가까워지면, v = v1 + v2 라는 공식으로는 속도를 구할 수가 없단다.

요약해서 말하면, 갈릴레이가 만든 공식으로는 빛의 속도에 비해 아주 느리게 움직이는 물체의 합속도를 구할 수 있지만, 아인슈타인의 상대성이론에서 나온 공식은 느리게 움직이는 물체의 합속도 뿐만 아니라 광속에 가까운 속도로 움직이는 물체의 합속도를 구하는 데도 사용할 수 있지.

이번에는 이 공식에 v1이나 v2 중 하나에 광속 c를 대입해 보자. 즉 기차나 동수 중 하나가 광속으로 움직인다는 것이지. 아래에는 v1 에 광속 c를 대입한 것이란다.

합속도는 신기하게도 광속인 c(30만km/초)가 나오지. 사실은 신기할 게 없단다. 이미 위에서 기차가 30만km로 달릴 때, 기차의 길이가 0이 되기 때문에, 동수의 속도는 0이 되어 지구에서 정수가 볼 때 30만 km로 움직이는 것으로 보인다고 이야기했기 때문이지.

아래의 표는 기차의 속도(v1)와 동수의 속도(v2)가 각각 광속의 0.5배(15만km/초), 0.9배(27만km/초), 1배(30만km/초)일 경우 갈릴레이가 계산한 합속도와 아인슈타인이 계산한 합속도를 표로 만든 것이란다.

[표] 기차의 속도 v1과 동수의 속도 v2의 합속도. 단위는 만km/초(############ 몇 줄을 줄이는 것이 좋겠음 ############)

표의 맨 아래 줄은 v2가 음수인데, 이것은 동수가 기차의 반대 방향으로 달리는 경우이지.
위의 표를 살펴보면, 두 속도가 모두 광속에 거의 근접하더라도 광속인 초속 30만 km가 넘지 않고, 또 한쪽의 속도가 광속이면 합속도도 광속이 되는 것을 알 수 있지.

여기에서 잠깐 특수상대성이론의 출발점을 상기해보자. 특수상대성이론의 출발점이 '빛의 속도는 관측자의 속도에 관계없이 항상 일정하다'는 광속불변의 법칙이었고, 이러한 법칙이 '모든 운동은 상대적이며, 등속 운동을 하는 모든 관찰자에게는 같은 물리 법칙이 적용된다'는 갈릴레이의 상대성원리와 모순이 된다는 것이었는데, 이제 속도 덧셈의 공식(v = v1 + v2)을 아인슈타인이 만든 속도 덧셈의 공식으로 바꾸면 두 법칙이 서로 모순되지 않는다는 것을 알 수 있겠지.

지금까지 이야기의 결론은 다음과 같단다.

첫째, 광속 불변의 법칙과 갈릴레이의 상대성원리는 모순이 되지 않는다.
둘째, 우주에서 가장 빠른 속도는 광속 c이다.

박인규
(valueinkyu)

v1이나 v2중 아무거나 c일겨우라는 뜻은 이해하겟는데, 기차나 동수중 하나가 광속으로 움직일때라고 하기보단 기차가 광속일때라고 하는게 맞는거 같아요
(2013-10-07 오전 6:20:01)

박인규
(valueinkyu)

아니면 기차의 길이가 무한이라던가...
(2013-10-07 오전 6:21:12)

박인규
(valueinkyu)

그러고보니 무한의 길이를 가진 기차가 있다고 하고 정수를 기준으로 그 기차가 광속으로 움직인다면 기차의 길이가 0이 될까요? 터무니없는 사고실험인가..
(2013-10-07 오전 6:22:30)

홍갑
(qkwer)

기차는 광속으로 앞으로, 동수는 광속으로 기차 반대 방향으로 간다고 할 때 동수의 속도는 광속인가요 0인가요? 광속인 기차의 길이가 0이 되어 동수가 어떤 속도로 달린다고 해도 광속으로 보인다는 관점에선 광속인 듯한데 공식에 대입해 보면 0이 나오네요. 제가 계산을 잘못한 건가요?
(2014-02-11 오후 2:07:40)

박홍균
(hkpark)

기차의 속도는 정수를 기준으로 한 것이고, 동수는 기차를 기준으로 한 속도입니다. 본문 내용을 수정하도록 하겠습니다.
(2014-05-24 오후 1:02:56)

강성규
(0904ksg)

양쪽에서 광속으로 올 때의 상대 속도를 구하면 V1과 V2에 각각 C와 -C를 대입 해서 0분의 0꼴 이 되네요. 분모를 통분 하고 0으로 만드는 인수인 C-C를 분모 분자에서 약분 하면 C²이라는 값이 나오는데 이건 뭔가요? 극한의 개념을 잘못 쓴 경우인가요?
(2018-04-29 오전 1:53:15)