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3-4. 시간은 얼마나 느리게 가나?
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이번에는 움직이는 로켓에서의 시간이 얼마나 느리게 가는지 실제로 계산해보자. 사실 이 계산에서는 아인슈타인의 특수상대성이론에서 가장 어려운 수식이 나온단다. 바로 네가 중학교 수학시간에 배운 피타고라스 정리이지.
만약 중학교 3학년 수학책에 나오는 피타고라스 정리를 모르거나, 알아도 골치가 아파서 싫다고 한다면 이번 장을 뛰어 넘어가도 상관이 없단다. 앞의 장에서, 빠르게 움직이는 로켓에서의 시간이 지구보다는 느리게 간다는 것을 이미 충분히 설명이 되었기 때문이지. 물론 너무나 짧아서 허무한 생각 마저 들겠지만... 하지만 아빠는 네가 약간의 끈기와 호기심을 가지고 한번 읽어 보길 권한다.
아래의 [그림1]은 앞 장에서 나온 그림이란다.
[그림1] 정수가 본 빛의 운동 경로. 선분 AB는 정지한 로켓에서의 빛의 경로. 선분 AC는 날아가는 로켓에서의 빛의 경로.
정지한 로켓에서 빛이 바닥에 있는 A점에서 천정에 있는 B점까지 가는데 걸린 시간을 t라고 하자.
그러면 선분 AB의 길이는, 빛의 속도 c와 빛이 A점에서 B점까지 가는데 걸리는 시간 t를 곱하여 ct가 되겠지. 즉 선분 AB = ct가 되지.(빛의 속도를 나타내는 c는 '빠른 속도'를 뜻하는 라틴어 celeritas의 첫 글자에서 따왔단다.)
이번에는 빠르게 날아가는 로켓에서 빛이 바닥에 있는 A점에서 천정에 있는 C점까지 가는데 걸린 시간을 t′라고 하자. 그러면 빛이 지나간 운동 경로인 선분 AC는, 빛의 속도 c와 빛이 A점에서 C점까지 가는데 걸리는 시간 t′를 곱하여 ct′가 되겠지. 즉 선분 AC = ct′가 되지.
그리고 속도가 v인 로켓이 앞으로 이동한 거리인 선분 BC는 vt′가 되겠지. 즉 선분 BC = vt′가 되지.
그림을 보면 선분 AB, 선분 BC, 선분 AC는 직각삼각형을 이루고 있기 때문에 피타고라스 정리(직각삼각형에서 빗변의 제곱은, 밑변의 제곱과 높이의 제곱의 합이다.)에 의하면,
AC² = AB² + BC²
이 되고, 선분 AC, AB, BC에 각각 ct′, ct, vt′를 대입하면,
(ct′)² = (ct)² + (vt′)²
이 되지. 이 식을 t′에 대해 정리하면 다음과 같은 식이 된단다.
시간의 단축에 대한 식이 나왔으니 실제로 시간이 얼마나 단축되는지 살펴보자.
아래의 표에는 로켓의 속도에 따라 시간이 얼마나 단축되는지를, 위의 공식에 넣어 계산한 것이란다.
0.1 c = 1.005
0.5 c = 1.155
0.9 c = 2.294
0.99 c = 7.089
0.999 c = 22.366
0.9999 c = 70.712
0.99999 c = 223.607
0.999999 c = 707.107
0.9999999 c = 2236.068
0.99999999 c = 7071.068
위의 표를 보면, 지구 공전속도보다 1000배 정도 빠른 광속의 0.1배 정도면 시간이 1.005배 느리게 간단다. 광속의 0.1배에서 이 정도라면, 이 속도보다 10만배나 느리게 가는 비행기라면 느리게 가는 시간을 느낄 수 있을까?
위의 식에서 v가 c에 비해 작은 경우, 루트(√) 안의 값은 1이 되고, 결국
t′ = t
가 되겠지. 따라서 우리가 일상생활에서는 시간의 단축을 전혀 느낄 수가 없단다.
광속의 절반이면 1.15배, 광속의 0.9배(90%) 정도가 되면 비로소 2.3배 느리게 가지. 그리고 광속과 거의 같은 속도인 0.99배(99%)가 되면 시간이 7배 가량 느리게 간단다. 이후 시간은 급속하게 느리게 가는데, 아래에 있는 속도에 따른 시간의 단축을 그래프로 그리면 다음과 같단다.
[그림] 속도와 시간 간의 관계. x축의 값은 [속도/광속]이고, y축의 값은 [움직이는 사람의 시간/정지한 사람의 시간]
속도가 광속에 가까워지면, 시간은 무한대에 가까워지는 것을 알 수 있지. 즉 엄청나게 시간이 느리게 가지.
속도가 빨라지면 시간이 느리게 간다는 상대성이론이 우리의 일상 생활에서는 전혀 상관없는 이론이라고 할 수 있겠지. 하지만, 빛의 속도에 가까이 이동하는 전자나 미립자 등을 연구하는 사람들은 이러한 시간의 지연을 감안하지 않으면 안 된단다. 그러면 실제로 미립자에서는 어떤 현상이 나타나는지 한번 살펴보자.
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