PS) 뉴턴의 이야기가 나온 김에 뉴턴이 만든 미적분에 대해서도 조금 이야기를 해보자. 뉴턴이 자연 현상을 수학 공식으로 설명하기 위해 만든 것이 미적분이란다. 고등학교에서 미분과 적분을 배우지만, 도대체 미적분을 왜 배우는지 왜 필요한지에 대해서는 아마도 잘 모르고 배울 것이라 생각한다.

미분(微分)의 미(微)자는 '미세(微細)하게 작다'는 뜻을 가지고 있단다. 따라서 미분(微分)은 '작게(微) 나누다(分)'는 뜻으로, 어떤 함수에서 아주 작은 구간을 나누어, 이 구간에서 일어나는 현상(변화율)을 연구하는 수학이지.

반면 적분(積分)의 적(積)자는 '누적(累積)하여 쌓다'는 뜻을 가지고 있단다. 따라서 적분(積分)은 '작게 나누어진(分) 것을 합쳐서 쌓는다(積)'는 뜻으로, 어떤 함수에서 아주 작은 구간들을 합쳐서 쌓으면 일어나는 현상(변화양의 누적)을 연구하는 수학이란다.

예를 들어, 시간에 따른 거리의 변화율은 속도이고, 속도의 변화율은 가속도이지. 따라서 거리를 시간으로 미분하면 속도가 되고, 속도를 미분하면 가속도가 되지. 반대로 가속도를 적분하면 속도가 되고, 속도를 적분하면 거리가 된단다.

또 미분방정식이나 적분방정식은 미분하거나 적분한 함수나 변수를 포함하는 방정식인데, 이건 주로 대학교에서 배우지. 예를 들면 y" + 2y' - y = 0는 미분방정식인데, 이 식을 만족하는 y를 구하는 것을 방정식의 해를 구한다고 하지.

자연계의 여러 가지 현상들은, 뉴턴의 만유인력 공식이나 힘과 가속도(F = ma)의 공식처럼 수식으로 표현할 수 있지. 이렇게 수식을 만드는 이유는 언제든지 실제의 값을 예측할 수 있기 때문이야. 예를 들어 시속 200km로 달리는 자동차를 만들려고 할 때 엔진의 마력이 얼마나 필요한지를 계산할 수 있지.

그런데 자연계의 현상을 수식으로 표현해보면, 만유인력 공식이나 힘과 가속도의 공식처럼 간단한 대수식으로 표현되는 경우는 거의 없고, 대부분 미분방정식이나 적분방정식 혹은 두 가지가 섞여 있는 형태로 표현된단다. 예를 들어 파동이나, 전자기 현상, 기상 현상, 건축물의 강도 등은 모두 미분방정식으로 표현되지.


[그림] 파동방정식 - 자연 현상은 대부분 이와 같이 미분방정식으로 표현 된단다.

우리가 매일 듣는 날씨 예보는 기상 현상을 미분방정식으로 표현하고, 여러 가지 조건(기압이나 습도 등)을 넣어 방정식을 풀면 가까운 미래의 날씨를 예측할 수 있단다. 그리고 미분방정식을 푸는 과정은 너무 복잡하고 시간이 걸리기 때문에 컴퓨터를 이용한단다.

뉴턴이 미적분을 만든 이유가 이런데 있단다. 자연계의 현상들을 모두 수식으로 표현하려다 보니 미적분이 필요하게 된 것이지. 미적분을 영어로 calculus라고 하는데, 그 뜻은 '계산(calculation) 방법'이란 뜻이란다. 즉 자연계의 현상들을 계산으로 풀이한다는 의미를 가지고 있지.

대학에서 공학(工學)을 공부하게 되면, 미분방정식을 푸는 데에서 시작하여 미분방정식을 푸는 데에서 끝난다고 해도 과언이 아니란다. 공학에서 다루는 대부분의 현상들은 대부분 미분방정식으로 표현되기 때문이지. 따라서 미적분을 싫어하면 공과대학을 가지 않는 것이 좋지. 최근에는 경제학이나 사회학 등에서도 경제 현상이나 사회 현상을 미적분방정식으로 표현하기도 하지.

뉴턴과 동시대의 인물인 독일의 철학자 라이프니츠(Leibniz, 1646~716년)도 미적분을 만들었단다. dx/dy와 같은 미분 기호나 ∫ ydx와 같은 적분기호는 모두 라이프니츠가 만들었단다.



dy나 dx에 나오는 d는 differential라는 말의 약자로, 원래는 '차이'라는 뜻을 가지고 있었으나, 나중에 '미분'이란 뜻을 가지게 되었다. 예를 들어 dx는 'x의 차이'라는 뜻을 가지고 있지.

그리고 적분 기호인 ∫는 integral이라고 읽는데, 원래는 '전체'라는 뜻을 가졌으나, 나중에 '적분'이란 뜻을 가지게 되었단다.

여기에서 네가 꼭 알고 지나가야 하는 사실이 있단다. 우리가 학교에서 수학 공식으로 표현된 자연의 법칙을 배우고 나면, 우리가 자연의 법칙에 대해 모든 것을 이해했다고 생각하는데, 사실은 그렇지 않단다. 수학 공식이란 자연을 묘사할 뿐이지, 자연이 왜 그런 법칙을 따르는지에 대해서는 이야기해 주지는 않지. 즉 자연이 왜 그런 공식으로 작동하는지에 대해서는 누구도 알 수 없단다. 만약 신이 있다면 신만이 알 수 있겠지.